Problema de les portes

Aquest problema m'ha acompanyat durant tota la meva vida professional. Fet en gran grup, uns 80 alumnes, el treballen en petits grups, de 4 o 5 alumnes, mentre van descobrint coses, van creant les seves hipòtesis,.. Em serveix per mostrar-los com és el treball matemàtic en realitat. Fet així en confinament no sé quin resultat tindrà.

Problema de les portes

Un hotel disposa de 5000 habitacions i de 5000 cambrers. Totes les portes estan numerades de l'u al 5000 i els cambrers també.

Els cambrers tenen el següent costum, més aviat ximple: el primer cambrer obre totes les portes de les habitacions; el segon cambrer comença tancant la porta número 2, salta la 3,  tanca la 4, salta la 5, tanca la 6, ...; el tercer cambrer canvia de posició començant per la porta número 3, salta la 4 i la 5, canvia de posició la 6, salta la 7 i la 8, canvia de posició la 9, ...; el quart cambrer canvia de posició començant per la número 4, salta la 5, 6 i 7, canvia de posició la 8, salta la 9, 10 i 11, canvia de posició la 12 ...; el cinquè cambrer canvia de posició començant per la porta número 5, salta la 6, 7, 8 i 9, canvia de posició la 10, salta la 11, 12, 13 i 14, canvia de posició al 15, … Així fins que ha passat l'últim cambrer, el 5000, que canvia de posició la porta 5000.

Es demana: quines portes quedaran obertes al final?

Algunes indicacions

1.     Fixeu-vos que no es demana quantes portes, sinó quines.

2.     Fixeu-vos que a partir del tercer cambrer hem de dir que canvia la posició de les portes, ja que de les portes que toca n'hi haurà d'obertes i d'altres tancades.

3.     És possible que hi hagi gent que resolgui el problema ràpidament, felicitats!

4.     Si feu el problema en grup hi ha algun membre que veu la solució més ràpid que la resta, aquest, seria bo que no la desvetllés a la resta, perquè, si voleu aprendre a resoldre problemes, és convenient que trobeu el màxim de coses per vosaltres mateixos.

5.     Si no veieu com resoldre'l, us aconsello fer un xic de treball de camp.

6.     El problema no està resolt si us sembla que heu identificat quines portes estan obertes, sinó quan esteu segurs que realment són aquestes.

Solució al problema de les portes

Vaig a intentar explicar el que passava normalment quan proposava aquest problema als alumnes de primer de magisteri. Es tractava normalment de grups de 80 alumnes. Un cop enunciat el problema els feia seure per grups de 4 a 6 alumnes en rodona i els deia que es posessin a treballar. Costava força de trencar el gel i que realment s'hi posessin, però, poc a poc, agafaven paper i llapis i començaven a fer alguna cosa. Molts grups el primer que feien era descompondre 5.000 en factors primers, ai!

Durant el primers 10 minuts passava pels grups i controlava què feien. Molts em deien si havien de treballar amb el 5.000. Els responia que què en pensaven, si creien que era un professor raonable i que el que els proposava havia de ser una cosa que ells poguessin fer. Costava, però al cap de poc temps veient que una bona idea podia ser simplificar, alguns simplificaven fins a 10, d'altres fins a 20,... Quan ja hi havia un grup prou nombrós de grups que havien simplificat, agafa el control de la classe i feia pública la idea de simplificar i a partir d'aquí el que s'havia de fer era mirar quines quedaven obertes i quines no.

Arribats aquí, la majoria de grups feia unes taules immenses que ara no repetiré però que de forma simplificada es podrien expressar de la següent manera:

1  2  3  4  5  6  7  8  9 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  ....

O T  T  O  T  T T  T  O   T    T    T    T

N'hi havia que amb els 10 primers ja volien trobar alguna cosa, d'altres s'equivocaven, d'altres anaven fent càlculs i més càlculs sense mirar res...

Els deia que el que estaven fent era treball de camp. De la mateixa manera que ho fa qualsevol biòleg, o científic que primer recull un seguit de dades dels seus experiments, els matemàtics quan volen descobrir una determinada propietat ho fan exactament igual i que aquesta fase és molt important.

Algun grup era capaç de veure que les portes que tenien un nombre primer quedaven totes obertes. Ho remarcàvem a la pissarra. De moment teníem tres coses que havien servit. Primer simplificar, segon fer treball de camp i després que les portes amb un nombre primer quedaven obertes.

També es descobria que els cambrers que tocaven una porta determinada, per exemple, el 12, eren els seus divisors, 1, 2 , 3, 4, 6 i 12.

Tornàvem a la taula i amb aquestes darreres observacions l'anàvem completant. Una pregunta que també feien de forma recurrent és fins on havien de continuar. Cada vegada que apareixia una porta tancada, m'apartava de la pissarra i obserbava des de lluny la taula i els preguntava si hi veien alguna cosa.

Suposem que hem arribat al 16, tindríem aquesta situació:

1  2  3  4  5  6  7  8  9 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  ....

O T  T  O  T  T T  T  O  T    T    T    T     T    T    O     T           T

Hauríem posat la T al 17 i el 19 perquè eren primers.

Quan feia tot això la majoria de grups ja havien descobert el que ve a continuació.

Feia la següent pregunta: Hi ha alguna cosa que us cridi l'atenció en aquesta taula, no deixava respondre als que ja havien vist la propietat i si cap altre grup es manifestava els deia que havien de continuar amb el treball de camp. La majoria però eren conscients que hi havia una pauta, regularitat deien ells: entre la primera i la segona porta obertes, hi ha dues portes tancades, entre la segona i la tercera obertes, quatre tancades, entre la tercera i la quarta obertes, sis tancades,...

Aleshores preguntava: Quina creieu que seria la propera porta oberta? Com la podríem trobar? La majoria contestava que havíem de deixar 8 portes tancades i la novena hauria d'estar oberta. Trobàvem que aquesta porta havia de ser 16+9=25, i els preguntava: Ara què hauríem de fer? Alguns, pocs, deien que comprovar-ho. Ho fèiem, els divisors eren 1, 5 i 25, el primer cambrer l'obria, el cinquè la tancava i el 25è l'obria. Perfecte! Quina seria la següent? 25 més deu portes tancades, 35 i per tant la següent, 36, havia d'estar oberta. Què havíem de fer ara? Comprovar-ho. Els divisors de 36 són, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36. Comprovàvem que realment 36 quedava oberta. D'aquesta manera continuàvem i vèiem que 49=36+13; 64=49+15; 81=64+17; ..... eren les portes que quedaven obertes.

Algun alumne preguntava: I ara, hem de continuar així fins a 5.000?

Escrivia les portes obertes.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ....

i els preguntava si aquests nombres els deien alguna cosa. Per la majoria eren perfectes desconeguts. Algun arribava a dir que eren nombres que s'obtenien de multiplicar un nombre per ell mateix, per exemple 36=6*6.

Com es diuen aquests nombres? Pocs arribaven a dir els quadrats. Bé, però, d'una manera o altra arribaven a veure que semblava que aquests nombres eren realment les portes que quedaven obertes. Els hi feia veure que ara teníem una manera molt més eficient de trobar les portes obertes, que havíem canviat de pauta, per comptes d'haver de saltar primer 2, després 4, 6, 8,.... Ara podíem dir que semblava que les portes obertes eren els nombres quadrats. Què era el primer que havíem de fer? Continuar comprovant. Ho fèiem amb 100, 121, 144,... i algú preguntava, així fins quant? D'altres deien que ja n'estaven segurs que els quadrats eren les úniques portes que quedaven obertes. Un cop aquí els feia observar que tot just havíem comprovat els quadrats i no sabíem si hi havia algun nombre que no fos quadrat i que la porta quedés oberta i que també hauríem de comprovar alguns dels no quadrats. Si alguns que es posaven tossuts amb que ja ho tenien clar, els hi deia que el 3.600, que evidentment era un quadrat, jo afirmava que era una porta que no quedava oberta, i que el 2747, que no ho era, quedava oberta, algú s'hi juga una sopar? La majoria es feia enrere. Amb això el que pretenia era que veiessin que no n'hi havia prou amb tenir una pauta que semblava certa, sinó que s'havia de tenir un argument que ens fes veure de forma clara perquè els quadrats eren els únics nombres de les portes que quedaven obertes.

En aquest punt, els recordo que tots els primers són portes tancades i els pregunto si no hi ha altres portes tancades. Mirant la taula tenim que el 6, no és primer i queda tancat, per què? Perquè té 4 divisors, diu algú, els primers queden tancats perquè només en tenen 2, el 6 com que en té 4 també...

Això els fa veure una altra manera de veure el problema, si un nombre té un nombre parell de divisors quedarà tancat i per tant si té un nombre de divisors senars quedarà obert. Ah! Les portes que queden obertes són les que tenen un nombre de divisors senars, ja està.

Clar, els deia. Això és una cosa que veieu ben clara. Si una porta té un nombre de divisors parell quedarà tancada, perquè un nombre parell es pot reduir a la meitat d'obre, tanca, obre, tanca, ...., mentre que si té un nombre de divisors senars quedarà oberta, perquè després d'un nombre parell d'obre, tanca vindrà l'últim obre. Per tant, estem segurs que les portes que queden obertes són les que tenen un nombre de divisors senars.

 Fixeu-vos, els deia, que ara si us donen un nombre, per exemple 3960, d'entrada, si no calculeu quants divisors té, no podeu saber si queda obert o tancat. Mentre que, si suposem, que els nombres quadrats són les portes que queden obertes, fent l'arrel quadrada sabrem si queda oberta o tancada. Ara tenim dues caracteritzacions de les portes que queden obertes. Una que n'estem segurs: Si té un nombre de divisors senars queda oberta i una altra que suposem: si és un quadrat perfecte queda oberta. Com és possibles fer compatible aquestes dues caracteritzacions? Costa una xic, però després d'estar insistint en el tema, sempre els dic que és molt important que siguin ells mateixos els que arribin a formular les qüestions, hi ha algun alumne que diu: Els quadrats són els únics nombres que tenen un nombre de divisors senars. Perfecte! I aleshores, dic Teoreme (el nom de l'alumne) i escric l'enunciat que ha formulat.

Com podem veure que el teorema és cert? A vegades, aquesta fase costava força. El que els proposova era tornar a fer un treball de camp. Els demanava que diguessin nombres que fossin quadrats i altres que no ho fossin buscant els divisors i veient que tots els quadrats tenen un nombre de divisors senars i el no quadrats un nombre parell. Si no hi havia ningú que veiés res, demanava que algú em digués un nombre relativament bèstia del que no tinguéssim ni idea de si era quadrat o no i dels seus possibles divisors, per exemple 3234, i els demanava si tenen clar algun divisor. Tots contestaven el 2, fèiem la divisió, obtenint 1617, i fent de mal professor, és a dir, dient més del que és precís, els preguntava si no havíem obtingut un altre divisor. Alguns veien que el 1617 també ho era. Continuava i preguntava si no hi havia una altre divisor clar. Si sabent el cirteri de divisibilitat del tres, veien que el 3 ho era, fèiem la divisió i sortia 1078. Preguntava tenim el 3 i algun altre? Ja aconseguia que més diguessin el 1073. Com que no era divisible per 5, provàvem amb el 7, i obteniem 462. A partir d'aquí costava relativament poc fer entendre que els divisors d'un nombre els podíem aconseguir per parelles.

Aquí, em feia el sorprés i deia: Així tots els nombres han de tenir un nombre parell de divisors, no? Caram! Com pot ser que n'hi hagi que en tinguin un nombre senars? Ah! hem dit que són els quadrats. Què deu passar? Agafàvem un quadrat senzillet, per exemple el 100, i vèiem què passava. L'1 s'aparellava amb el 100, el 2 amb el 50, el 4 amb el 25, el 5 amb el 20 i el 10.... amb el 10, ell mateix. Clar! Si un nombre és un quadrat té tot de parelles de divisors diferents però hi ha un divisor que s'aparella amb ell mateix i per tant només compte una vegada i per tant el nombre divisors és senars segur.

Ja ho tenim! Les portes que queden obertes són els quadrats perfectes, ja que aquestes són el únics nombres que tenen un nombre de divisors senars i perquè una porta quedi oberta han de passar-hi un nombre de cambrers senars.

Un cop acabat tot això, feia veure als alumnes que després de tot el procés havíem estat capaços de primer enunciar un teorema que havíem trobat de forma experimental, i finament demostrar-lo i que en gran mesura havien estat ells els que ho havien aconseguit.

Havien estat capaços de fer la feina que fa un matemàtic. Primer simplificar el problema, fer un treball de camp per tal d'intentar trobar alguna pauta, si aquesta pauta no era practicable mirar de transformar-la en una de més adequada. Crear una conjectura, el teorema, a partir d'una cosa de la qual estàvem segurs i d'una altra que semblava que ho havia de ser i finalment trobar un argument que justifiqués de forma clara que el teorema havia de ser cert.

Un cop fet tot això, durant gran part del curs quan hi havia una cosa que podia no estar clara, els deia: Heu entès això tan bé com que els quadrats són els únics nombres que tenen un nombre de divisors senars? En matemàtiques, sempre les coses han de ser tan clares com això.

Com a apunt final i seguint la quarta fase de la resolució d'un problema de Pólya, un s'ha de preguntar: de quina manera puc aprofitar aquest problema per tal de resoldre altres qüestions?

A partir de la idea que els divisors d'un nombre els podem trobar per parelles, podem aconseguir un criteri, molt senzill, per saber si un nombre és primer o no. N'hi ha prou amb dividir per tots els primers més petits que l'arrel quadrada del nombre, si no trobem cap divisor el nombre és primer.

Aplicant aquest criteri, quins dels següents nombres són primers?

323, 2393, 4001 i 12797.

Per acabar, quan era professor d'Estalmat, sigles de "Estimulación del talento matemático", una activitat que anava dirigida a alumnes, de 12 i 13 anys, especialment dotats per les matemàtiques, els proposava aquest problema entre molt d'altres. Un dia, un alumne em va dir això és trivial, donat que perquè una porta quedi oberta el nombre de divisors de la porta ha de ser senars i com que els divisors d'un nombre els podem obtenir per parelles, perquè sigui senars el nombre ha de ser un quadrat per tenir una parella amb un sol divisor.

Més clar l'aigua.