Bon dia!
Avui tres problemes de nombres de creixent
dificultat.
Un
problema de dígits
És possible trobar nombres, utilitzant tots
els dígits del 0 al 9, tot just una vegada cadascun d'ells, de forma que la
suma sigui 100? i 1000?
La
corona del rei Hierò
Expliquen que quan Arquimedes va cridar
"Eureka" va ser perquè havia trobat la solució a la següent qüestió
que li havia proposat el rei Hierò de Siracusa: He donat 5 kg d'or a un orfebre
perquè em fes una corona, aquest m'ha tornat la corona i pesa 5 kg però tinc la
sospita que m'ha enganyat i s'ha quedat part de l'or substituin-lo per plata. Com
podríem saber si ho ha fet realment? Arquimedes va resoldre la qüestió sabent
que en submergir l'or en l'aigua perd 1/20 del seu pes, mentre que la plata en
perd 1/10. Aleshores va fer pesar-la dins l'aigua i el seu pes era de 4650 gr.
Sabries dir si l'orfebre havia estafat el rei Hierò i en cas afirmatiu quina
quantitat d'or havia substituit?
La
suma de cubs
Què val la suma dels n primers cubs en funció de n? Saps
justificar-ho?
Solucions a alguns problemes de nombres
Bon dia!
Aquest cop l'únic que m'ha donat solucions
als problemes ha estat en Lluís Serra, membre del club de matemàtiques de la
biblioteca de Palafrugell. Gràcies Lluís!
Aquests són els papers que m'ha fet arribar:
La solució que fa del primer problema no em
sembla concloent, ja que com ell mateix diu hauríem de tenir un o més nombres
de dos dígits, tot just fa el cas de tenir-ne un, i veu que en aquests cas no
pot ser, bé.
Del que en Lluís no s'adona, i és estrany,
perquè normalment té les coses de divisibilitat molt clares, és que un cop ha
trobat que la suma de tots els dígits és 45, el problema ja el tenim
solucionat. Perquè, els tinguem com els tinguem distribuïts, la suma dels
dígits sempre serà 45. Cosa que ens diu que el nombre resultant de la suma ha
de ser múltiple de 9 i com que 100 no ho és no serà possible fer-ho en aquestes
condicions. El mateix per 1000 o qualsevol potència de 10.
El de la corona del rei Hierò, en Lluís el
resol plantejant un sistema d'equacions i no hi ha gaire res a dir.
Quan jo el plantejava als alumnes de
magisteri, la meva intenció no era resoldre'l aplicant les regles de l'àlgebra,
sinó més com un problema de mesura. Si la corona submergida hauria de pesar
4750 gr, i en pesa 4650, això vol dir que ha perdut 100 gr més del que hauria
de ser. Cada quilo d'or en perd 50 gr, mentre que cada quilo de plata en perd
100. És a dir, que si substituïm 1 Kg d'or per un de plata perdem 50 gr. En
conseqüència en el nostre cas hem perdut 100 gr, vol dir que hem substituït 2
Kg d'or per 2 de plata.
Pel que fa a la suma dels cubs, en Lluís
troba, fent treball de camp, que la suma dels n primers cubs és igual al
quadrat del nombre triangular corresponent. Després sembla que troba que n3
és la suma de n senars consecutius. Si n és senar agafem els senars des de n2-(n-1)
fins a n2+(n-1). N'hi ha n, formen una progressió aritmètica i al
mig hi ha n2, per tant, realment, és certa la propietat, per n
senar. Per exemple per n=7, tenim que 72-(7-1)=43 i 72-(7-1)=55.
Per n parell, hem d'agafar, igual que abans, els senars des de n2-(n-1)
fins a n2+(n-1), ara n2 no hi és, però com que n'hi ha un
nombre parell i si aparellem el primer i l'últim, el segon i el penúltim, ...
totes les parelles sumen 2n2 i com que tenim n/2 parelles, la seva
suma dona 2n2xn/2=n3. Per exmple, si n=6, 62-(6-1)=31
i 62+(6-1)=41. A més, n2+(n-1) i (n+1)2-[(n+1)-1)]=n2+2n+1-n=n2+n+1,
és a dir, el primer de cada una d'aquestes seqüències de senars és el següent
senar de l'últim de la seqüència anterior. Per tant, el que troba en Lluís és
que realment la suma dels n primers cubs, coincideix amb el quadrat del nombre
triangular corresponent, ja que el nombre de senars que sumem precisament és aquest
nombre triangular. Buf! Quin rotllo, però us aseguro que si us ho mireu amb
calma surt.
De totes maneres, diuen, que a vegades una
imatge val més que mil paraules i en aquest cas em sembla molt encertat. La
meva amiga Sílvia Margelí m'ha fet arribar la següent imatge sobre aquest fet:
Fixeu-vos que per cada cub que afegim el
podem dividir en n rajoles quadrades i si el nombre és senar, les rajoles les
podem posar tal qual, mentre que si n és parell una de les rajoles l'hem de
partir per la meitat i posar-la de forma adequada.
Maco, no?