Alguns problemes de nombres

Bon dia!

Avui tres problemes de nombres de creixent dificultat.

Un problema de dígits

És possible trobar nombres, utilitzant tots els dígits del 0 al 9, tot just una vegada cadascun d'ells, de forma que la suma sigui 100? i 1000?

La corona del rei Hierò

Expliquen que quan Arquimedes va cridar "Eureka" va ser perquè havia trobat la solució a la següent qüestió que li havia proposat el rei Hierò de Siracusa: He donat 5 kg d'or a un orfebre perquè em fes una corona, aquest m'ha tornat la corona i pesa 5 kg però tinc la sospita que m'ha enganyat i s'ha quedat part de l'or substituin-lo per plata. Com podríem saber si ho ha fet realment? Arquimedes va resoldre la qüestió sabent que en submergir l'or en l'aigua perd 1/20 del seu pes, mentre que la plata en perd 1/10. Aleshores va fer pesar-la dins l'aigua i el seu pes era de 4650 gr. Sabries dir si l'orfebre havia estafat el rei Hierò i en cas afirmatiu quina quantitat d'or havia substituit?

La suma de cubs

Què val la suma dels n primers cubs en funció de n? Saps justificar-ho?

Solucions a alguns problemes de nombres

Bon dia!

Aquest cop l'únic que m'ha donat solucions als problemes ha estat en Lluís Serra, membre del club de matemàtiques de la biblioteca de Palafrugell. Gràcies Lluís!

Aquests són els papers que m'ha fet arribar:

La solució que fa del primer problema no em sembla concloent, ja que com ell mateix diu hauríem de tenir un o més nombres de dos dígits, tot just fa el cas de tenir-ne un, i veu que en aquests cas no pot ser, bé.

Del que en Lluís no s'adona, i és estrany, perquè normalment té les coses de divisibilitat molt clares, és que un cop ha trobat que la suma de tots els dígits és 45, el problema ja el tenim solucionat. Perquè, els tinguem com els tinguem distribuïts, la suma dels dígits sempre serà 45. Cosa que ens diu que el nombre resultant de la suma ha de ser múltiple de 9 i com que 100 no ho és no serà possible fer-ho en aquestes condicions. El mateix per 1000 o qualsevol potència de 10.

El de la corona del rei Hierò, en Lluís el resol plantejant un sistema d'equacions i no hi ha gaire res a dir.

Quan jo el plantejava als alumnes de magisteri, la meva intenció no era resoldre'l aplicant les regles de l'àlgebra, sinó més com un problema de mesura. Si la corona submergida hauria de pesar 4750 gr, i en pesa 4650, això vol dir que ha perdut 100 gr més del que hauria de ser. Cada quilo d'or en perd 50 gr, mentre que cada quilo de plata en perd 100. És a dir, que si substituïm 1 Kg d'or per un de plata perdem 50 gr. En conseqüència en el nostre cas hem perdut 100 gr, vol dir que hem substituït 2 Kg d'or per 2 de plata.

Pel que fa a la suma dels cubs, en Lluís troba, fent treball de camp, que la suma dels n primers cubs és igual al quadrat del nombre triangular corresponent. Després sembla que troba que n³ és la suma de n senars consecutius. Si n és senar agafem els senars des de n²-(n-1) fins a n²+(n-1). N'hi ha n, formen una progressió aritmètica i al mig hi ha n², per tant, realment, és certa la propietat, per n senar. Per exemple per n=7, tenim que 7²-(7-1)=43 i 7²-(7-1)=55. Per n parell, hem d'agafar, igual que abans, els senars des de n²-(n-1) fins a n²+(n-1), ara n² no hi és, però com que n'hi ha un nombre parell i si aparellem el primer i l'últim, el segon i el penúltim, ... totes les parelles sumen 2n² i com que tenim n/2 parelles, la seva suma dona 2n²xn/2=n³. Per exmple, si n=6, 6²-(6-1)=31 i 6²+(6-1)=41. A més, n²+(n-1) i (n+1)²-[(n+1)-1)]=n²+2n+1-n=n²+n+1, és a dir, el primer de cada una d'aquestes seqüències de senars és el següent senar de l'últim de la seqüència anterior. Per tant, el que troba en Lluís és que realment la suma dels n primers cubs, coincideix amb el quadrat del nombre triangular corresponent, ja que el nombre de senars que sumem precisament és aquest nombre triangular. Buf! Quin rotllo, però us aseguro que si us ho mireu amb calma surt.

De totes maneres, diuen, que a vegades una imatge val més que mil paraules i en aquest cas em sembla molt encertat. La meva amiga Sílvia Margelí m'ha fet arribar la següent imatge sobre aquest fet:

Fixeu-vos que per cada cub que afegim el podem dividir en n rajoles quadrades i si el nombre és senar, les rajoles les podem posar tal qual, mentre que si n és parell una de les rajoles l'hem de partir per la meitat i posar-la de forma adequada.

Maco, no?