Teorema de Pitàgores i lúnules

Bon dia del treball!

Avui tenim una demostració, molt coneguda, del teorema de Pitàgores i dues qüestions sobre lúnules com aplicacions del teorema.

Teorema de Pitàgores

Sempre m'ha agradat molt la següent demostració del teorema de Pitàgores que s'atribueix a la cultura hindú.

Tenim un triangle rectangle al qual s'han construït quadrats sobre els catets i la hipotenusa, tal com es mostra a la següent figura:

A continuació tenim la següent figura que consta de dos quadrats de costats b+c i que al seu interior s'han dividit de forma diferent, tal com es veu a la figura:

El de l'esquerra té dos quadrats iguals als dels catets i dos rectangles, mentre que el de la dreta té un quadrat i quatre triangles iguals a l'original.

Amb tot això sabries justificar el teorema de Pitàgores: els quadrats sobre els catets són equivalents del quadrat sobre la hipotenusa? És a dir, que les àrees dels quadrats sobre els catets sumen el mateix que l'àrea del quadrat sobre la hipotenusa.

Lúnula d'Hipòcrates

Una lúnula consisteix en la superfície compresa entre dos arcs de circumferència. Hipòcrates va considerar la següent lúnula:

Es tracta de la formada per l'arc superior que és una semicircumferència de diàmetre AB i la inferior que té per centre el punt C, que és el vèrtex del triangle rectangle isòsceles que té per hipotenusa AB, i per radi CA, el catet del triangle rectangle isòsceles.

S'ha de justificar que aquesta lúnula és equivalent a l'àrea del quadrat que té per costat la meitat del segment AB, és a dir OB.

Lúnules en un triangle rectangle

En un triangle rectangle, podem considerar la semicircumferència de diàmetre la hipotenusa que passa pel vèrtex de l'angle recte i les semicircumferències sobre els catets. Determinen dues lúnules.

S'ha de demostrar que aquestes són equivalents al triangle.

Solucions al teorema de Pitàgores i lúnules.

Bon dia!

Teorema de Pitàgores

Si a la figura del teorema que havíem dibuixat tracem les diagonals dels rectangles del quadrat de l'esquerra, tal com es pot veure a la figura de l'esquerra obtenim ara que el quadrat estigui dividit amb els dos quadrats sobre els catets i quatre triangle iguals a l'original. Mentre que la figura de la dreta està dividida en quatre triangles iguals a l'original i un quadrat de costat la hipotenusa. Per tant, com que els dos quadrats grossos són iguals, si hi traiem els quatre triangles a tots dos, el que queda ha de ser igual i precisament ens queden, a l'esquerra els quadrats sobre els catets i a la dreta el quadrat sobre la hipotenusa. Això és el que volíem demostrar.

Lúnula d'Hipòcrates

El teorema de Pitàgores es pot generalitzar fàcilment. Veient que si en lloc de posar un quadrat sobre cada un dels costats del triangle rectangle n'hi posem dos tot seguirà sent igual. Si n'hi posem tres també, si n'hi posem mig igual. En general, si posem figures semblants sobra cada un dels costats el teorema continua sent cert, la suma de les figures semblants sobre els catets és igual a la figura semblant sobre la hipotenusa.

Si tenim clar això, ara a la figura que teníem de la lúnula d'Hipòcrates li afegim les cordes AD i BD, on D és el vèrtex superior esquerra del quadrat. Observem que el quadrat és igual a la suma dels triangles AOD i ODB i que aquests dos formen el triangle rectangle ABD. Al traçar les cordes en han aparegut dos segments circulars sobre els catets i també en tenim un de semblant sobre la hipotenusa. Per tant, pel teorema de Pitàgores generalitzat tenim que els segments circulars sobre els catets sumen el segment circular sobre la hipotenusa. És a dir, podem dir que la lúnula omple completament el triangle ABD i aquest, com ja hem dit, és igual al quadrat de costat OB, que és el que volíem veure.

Lúnules en un triangle rectangle

Aquest també s'obté a partir del teorema generalitzat de Pitàgores. Si tenim present la figura veiem que les lúnules són la diferència entre els semicercles sobre els catets i uns segments circulars sobre el mateixos. Per altra banda, el triangle és el semicercle sobre la hipotenusa menys els mateixos segments circulars. Pel teorema generalitzat els semicercles sobre els catets són equivalents al semicercle sobre la hipotenusa. En conseqüència, les lúnules són equivalents al triangle rectangle.