El joc d'escapçar

Bon dia!

He trobat aquest joc en el llibre de Paul Halmos, Problems for mathematicians, young and old. Es tracta d'un joc per a dues persones. Consisteix en, donat un taulell rectangular de nxm caselles, cada jugador al seu torn marca una casella i s'elimina un rectangle que té per vèrtex inferior-esquerra la casella marcada. És a dir, totes les caselles que es troben per sobre i a la dreta de la marcada. El segon jugador al seu torn marca una de les caselles restants i s'eliminen totes les que queden per sobre i a la dreta. I així continua la partida. Perd qui s'enduu l'última casella, la que es troba al vèrtex inferior-esquerra.

He triat anomenar el joc escapçar perquè que a cada jugada anem escapçant una part del tauler.

Per fixar idees veiem les primeres jugades d'una partida en un taulell de 5x8, és a dir, de 5 files per 8 columnes.

Suposem que el primer jugador tria la casella marcada amb una X

S'elimina el rectangle pertinent i el segon jugador marca la casella amb una Y. Tenim aleshores

S'elimina el rectangle pertinent i el primer jugador marca una casella amb una X. Tenim aleshores

Ara fixeu-vos que no s'elimina un rectangle sinó les caselles que queden per sobre i a la dreta

Així es va seguint fins que un dels jugadors es veu obligat a agafar la casella perdedora.

Suposo que el joc ja està prou clar. És hora de jugar un xic.

Primera qüestió.

Si el taulell és un quadrat de nxn, hi ha alguna estratègia guanyadora per algun del dos jugadors?

Si ja heu resolt aquesta part Halmos planteja a continuació un parell més de coses.

Segona qüestió

Si tenim un taulell de dues files, és a dir, de 2xn, existeix una estratègia guanyadora per algun dels jugadors?

Tercera qüestió

Si tinguéssim un tauler de dues files però infinit, és a dir, 2x∞, existeix una estratègia guanyadora per algun dels jugadors?

Si ho desitgeu podeu imaginar-vos altres taulells i anar investigant. De totes maneres us adverteixo que hi ha sorpreses.

Una cosa a remarcar és que el joc, en el cas nxm finit,  no pot acabar amb taules. Ja que el nombre de jugades és finit i, per tant, algú ha d'agafar al final la casella inferior-esquerra.

Ja em direu què heu trobat en aquest joc.

Solucions al joc d'escapçar

Bon dia!

Aquesta vegada tot just en Lluís Serra ha donat solució al problema. És aquesta:

Solució quan el taulell és un quadrat

La solució que dona en Lluís és correcta, però no acaba d'explicar el perquè. Fixeu-vos que si deixem una L simètrica al nostre contrincant, aleshores tota acció que faci en un braç de la L, nosaltres el podrem fer en l'altre i així restablir la simetria, i més tard o més d'hora li deixarem el quadradet perdedor.

Solució quan tenim un taulell de 2xn

Aquí també la solució que dona és bona però falta raonar el perquè. Si eliminem el quadrat que indica en Lluís, sempre podrem tornar a deixar una situació similar. Si el contrincant juga una casella de dalt, nosaltres podrem jugar a baix però una casella més a la dreta, i si juga a baix ens deixarà un rectangle i podrem agafar la casella de dalt a la dreta. Al final sempre li podrem deixar el quadradet perdedor.

Solució quan tenim un taulell de 2x∞

En aquest cas en Lluís sembla que no veu que el primer jugador perd sempre. Ja que si juga en una casella de dalt, deixa la fila de dalt finita i la de sota infinita. Aleshores el segon jugador juga a la casella de la fila de sota just a la dreta d'on ha jugat el primer i deixa la situació guanyadora del cas anterior. Si el primer jugador juga en una casella inferior deixarà un rectangle finit 2xn i el segon jugador podrà guanyar com ja hem indicat.

Què passa si tenim un taulell de mxn?

Resulta que podem demostrar que el primer jugador té una estratègia guanyadora però, en general no sabem quina és. Fixeu-vos en el següent raonament. Si el primer jugador treu la casella superior dreta, pot passar que aquesta sigui la que dona l'estratègia guanyadora, però si no, aleshores el segon jugador pot fer la jugada guanyadora, no? Resulta que aquesta jugada la podia haver fet el primer i per tant guanyar. És a dir, tenim una demostració que el primer jugador disposa sempre d'una estratègia guanyadora però aquesta demostració no és constructiva i no ens permet saber quina és l'estratègia guanyadora en realitat. Una situació paradoxal!

Acabo de rebre les solucions d'en Pere Mañosa també membre del club de matemàtiques i les afegeixo tot i que són molt semblants a les d'en Lluís