dimecres, 3 de juny de 2020

Tres problemes d'àrees


Bon dia!

Avui us proposo tres problemes sobre relacions entre àrees de diferents figures

Primer problema
Donat un hexàgon regular des d’un vèrtex es tracen les tres diagonals possibles. L’hexàgon queda així dividit en 4 triangles dos a dos iguals. Quina raó hi ha entre les àrees dels dos triangles diferents.



Segon problema
En el rectangle ABCD s’ha traçat la diagonal AC i el vèrtex B s’ha unit amb E que és el punt mig del costat AD. Anomenem O la intersecció del segment BE amb la diagonal AC. Si l’àrea del triangle AOE és d’1 cm2 què val l’àrea del rectangle?



Tercer problema
Demostra que l’àrea d’un dodecàgon regular és igual a tres vegades l’àrea del quadrat de costat  el radi de la circumferència circumscrita al dodecàgon.




dilluns, 1 de juny de 2020

Tres problemes del llibre "Matemáticas recreativas" de Y. Perelmán


Bon dia!

Avui us proposo tres problemes de Perelmán que havia fet servir quan feia matemàtiques per mestres.

Una cursa d'esquí
Un esquiador calcula que si va a 10 Km/h arribarà al seu destí a la una del migdia, mentre que si va a 15 Km/h aleshores hi arribarà a les 11 del matí. A quina velocitat ha d'anar per arribar a les 12 del migdia?

Camí a l'escola
Dos mestres, un vell i l'altre jove, viuen al mateix edifici i treballen a la mateixa escola. El jove fa el trajecte en 20 minuts i el vell en mitja hora. Un dia el vell surt 5 minuts abans que el jove, en quin punt del trajecte es trobaran? I si el vell surt 7 minuts abans? I en general si surt "t" minuts abans?

Triangle numèric
Col·loqueu els nou dígits significatius, 1, 2, 3, ... 8, i 9 en cada un dels cercles de la figura de manera que la suma de cada costat sigui 20. La solució és única? Quantes en pots trobar? Què passa si volem que la suma de cada costat sigui 17?

divendres, 29 de maig de 2020

Un problema de construcció geomètrica


Bon dia!

Avui us proposo un problema de construcció geomètrica que em van proposar en Lluís Bibiloni i en Jordi Deulofeu. El problema em va costar força de resoldre i per tant el considero difícil però això com ja sabem és una qüestió molt subjectiva. M'agradaria saber què n'opineu. El problema es pot resoldre algèbricament però el que proposo és trobar una construcció amb regle i compàs. Hem anomenat al problema, el problema del marc.

Problema del marc
Donat un rectangle, es tracta de construir a dins un marc d'igual amplada tan en la part horitzontal com en la vertical, de tal manera que el marc tingui la mateixa àrea que la part emmarcada. Veieu la figura:



dimecres, 27 de maig de 2020

Tres problemes de càcul d'alçades


Bon dia!

Avui proposo problemes per calcular alçades a partir de la mesura d'angles. Són problemes molt elementals que pretenen fer veure com amb eines relativament senzilles som capaços de fer mesures que no es poden fer de forma directa. El primer problema es pot resoldre sense necessitat d'utilitzar trigonometria. El segon és la generalització del primer i cal utilitzar trigonometria. Mentre que en el tercer la idea és un xic diferent i també s'ha d'utilitzar la trigonometria. Per no embolicar massa la troca he suposat que els angles s'han mesurat amb un goniòmetre arran de terra.
Primer problema
Troba l'alçada del lleó de la plaça del mercat de Girona sabent que a una certa distància de la base del lleó veiem l'extrem superior sota un angle de 30o i en acostar-nos 24 m aquest angle és 60o.
Segon problema
Calcula l'alçada d'un turó sabent que des de la plana veiem l'extrem superior sota un angle de 200, mentre que si ens acostem 60 m, mantinguent-nos a la plana, ara el veiem sota un anlge de 250.
Tercer problema
Des de dalt del Tibidabo veiem l'horitzó amb un angle de 4' 19" respecte del pla horitzontal. La definició de metre com a unitat de longitud que vaig aprendre quan era petit era: el metre és la deumilonéssima part d'un quadrant de meridià terrestre. Amb aquestes dades series capaç de calcular quina és l'alçada del Tibidabo respecte del mar?