Bona diada de sant Joan!
Avui vaig molt tard, ho sento!
Pel que fa a la solució dels tres problemes sobre pautes les penjaré demà.
Bé, he decidit que, com que
"teòricament" ja hem sortit de tot aquest sidral que ha estat la
Covid-19, avui us proposo l'últim problema d'aquesta experiència que vaig
anomenar, un xic pomposament,
"Contra el confinament, Pólya".
El problema d'avui és un de Martin Gardner
i us el presento tal i com apareix en el seu llibre Miscelánea matemàtica:
No sé si ho he fet massa bé. He proposat un
seguit de problemes que, o bé m'han servit per realitzar la meva docència, o bé
la seva resolució m'ha representat un repte. He intentat, en la majoria de
problemes, mostrar un xic el procés que ens pot portar cap a la resolució del
problema. Aquesta és la gran qüestió que, em sembla, queda pendent en
l'ensenyament de les matemàtiques.
Vull agrair, especialment, a la Pili Royo,
en Lluís Serra i en Pere Mañosa l'interès que han demostrat durant
l'experiència per aportar les seves solucions. També als que ho heu fet de
forma més anònima. Moltes gràcies!
Durant la propera setmana continuaré donant
les resolucions que se m'hagin enviat i, si em sembla oportú, les que jo he
obtingut.
Per mi ha estat un plaer realitzar aquest
blog.
Vull agrair també la feinada que ha fet la
meva filla Nina corregint tot el que he escrit amb no massa cura.
Bé, si mai em voleu proposar o consultar
alguna cosa ja sabeu allà on em podeu trobar.
Una forta abraçada virtual a
tothom.
Xavier
Solució a un problema de Martin Gardner
Bon dia!
He obtingut una única resposta, la d'en
Lluís. És aquesta:
Com podeu veure el que fa és resoldre-ho
"por las malas" com el mateix Martin Gardner diu. Tampoc acaba de dir
si és més gran o no que la quarta part.
El que ve a continuació és el que vaig
escriure després de resoldre el problema, ja fa molt temps:
La primera cosa que vaig pensar va ser en descompondre
la figura en un triangle equilàter i els tres segmens corresponents per veure
de quina manera podia encabir això en alguna part.
He de dir que a mi això que el client cregués
saber que la superfície era més d'un quart em va despistar ja que vaig pensar
que aquesta havia de ser la resposta, però el meu següent pas em va fer intuir
que la resposta era que la superfície en qüestió era menys de la quarta part
del cercle.
El que vaig fer va ser traçar un segement
perpendicular cap avall al costat superior del triangle equilàter. D'aquesta
manera obtenia un sector que era la quarta part del cercle i en el qual hi
havia continguda pràcticament tota la figura. Aquí ja es veu de forma clara que
la figura no pot recobrir el sector, ja que la part exterior al sector, el segment
superior es pot intuir que és més petit que la superfície del sector sobrant.
De fet vaig estar provant de passar aquest segment a la part sobrant però en
aquell moment no vaig ser capaç de veure com s'havia de fer i vaig canviar
completament la meva manera d'abordar el problema.
La idea era veure que si tenia quatre
figures equivalents a la figura en qüestió podia disposar-les dins del cercle
de forma que no es solapessin i no recobrissin tot el cercle. Com que tenia la
figura dividida en el triangle equilàter i els tres segments, podia intentar de
veure com podia posar 4 triangles equilàters i 12 segments que no es solapessin
i veure si deixaven alguna part restant. El resultat va ser la següent figura,
en la qual podem observar els 4 triangles equilàters i els 12 segments estratègicament
situats i que deixen dos triangles curvilinis sense tapar, per tant, ja podem
afirmar que qui tenia raó era el cambrer, ja que la superfície de la figura és
més petita d'un quart de cercle.
Aleshores vaig decidir veure quina era la solució que donava en Gardner i la veritat és que em va decebre un xic, ja que la vaig trobar força més complicada que la meva.
Després d'una estona, tot d'una, vaig veure
el que no havia sabut veure al principi. Com havia de posar el segment sobrer
dins de la part no coberta: havia de dividir el segment per la meitat i
col·locar les dues meitats enganxades per la corda tal i com es pot veure a la
figura.
D'aquesta manera es veu clarament que la
figura és més petita que un quart de cercle
i que la difenrècia és precisament com diu en Gardner mig triangle
curvilini, el que ell anomena delta però sense haver de recórrer a la complicació que fa.
Bé, això de moment s'ha acabat. Espero
haver-vos entretingut una estona.
Fins una altra!
Xavier
