La llista i un diàleg

El que segueix és la traducció del que G. Polya titula "la llista" en el seu llibre "COMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS" i un diàleg entre un professor i un alumne alhora de resoldre un problema, del mateix llibre, que constitueixen el seguit de qüestions que nosaltres ens plantegem quan intentem resoldre un problema.

PER RESOLDRE UN PROBLEMA ÉS NECESSARI:

I COMPRENDRE EL PROBLEMA

-       Quina és la incògnita? Quines són les dades?

-       Quines són les condicions? Són suficients per determinar la incògnita? Són insuficients? Són redundants? Són contradictòries?

-       Fes un dibuix. Simbolitza el problema de forma adient.

II CONCEPCIÓ D'UN PLA

-       T'has trobat amb un problema semblant o plantejat d'una manera més o menys igual?

-       Coneixes un problema que pugui estar relacionat amb aquest? Coneixes algun teorema que et pugui ser útil? Mira la incògnita i intenta recordar un problema que et sigui familiar i tingui la mateixa incògnita o una de semblant.

-       Aquí tens un problema relacionat amb el teu i ja resolt. Pots utilitzar-lo? Pots utilitzar el seu resultat? Podries utilitzar el mateix mètode? Hauries d'introduir algun altre element que et permetés utilitzar aquest mètode?

-       Pots enunciar el problema d'una altra forma? Pots plantejar-lo de nou d'una manera diferent?

-       Si no pots resoldre el problema proposat, intenta resoldre primer algun problema semblant. Pots imaginar un problema anàleg que te sigui més fàcil? Un problema més general? Un cas particular? Un problema anàleg? Pots resoldre una part del problema? Considera una part de les condicions, descarta la resta, la incògnita, ara, és més fàcil de determinar?, com pot variar? Pots deduir de les dades algun element d'utilitat? Pots pensar en algunes altres dades que et permetin determinar la incògnita? Pots canviar la incògnita? Pots canviar la incògnita o les dades, o tots dos si és precís, de manera que la nova incògnita i les noves dades siguin més fàcils de relacionar?

-       Has utilitzat totes les dades? Has utilitzat totes les condicions? Has tingut en compte tots el coneixements que fan referència al problema?

III EXECUCIÓ DEL PLA

-       Mentre portes a terme el pla per trobar la solució, comprova cada un dels passos.

-       Pots veure que el pas és correcte. Pots demostrar-lo?

IV VISIÓ RETROSPECTIVA

-       Pots verificar la solució obtinguda? Pots verificar el raonament utilitzat?

-       Pots obtenir el resultat de diferent forma? Pots veure'l d'un cop d'ull? Pots utilitzar el resultat o el mètode en algun altre problema?

COM RESOLDRE UN PROBLEMA. Un diàleg

Familiaritzar-se amb el problema

-       Per on he de començar?  Comença per l'enunciat del problema.

-       Què puc fer?  Intenta visualitzar el problema com un tot, tan clarament com puguis. De moment no et preocupis dels detalls .

-       Què hi guanyo fent això? Comprendràs el problema, et familiaritzaràs amb ell, tenint  present la intencionalitat del problema en la teva ment. L'atenció dedicada al problema pot estimular la teva memòria i preparar-la per captar els punts importants.

Treballar per una millor comprensió

-       Per on he de començar? Comença un altre cop per l'enunciat del problema. Comença quan aquest enunciat sigui tan clar i el tinguis tan ben gravat en la teva ment que el puguis perdre de vista sense por de perdre'l per complet.

-       Què puc fer? Aïllar les principals parts del problema. La hipòtesi i la conclusió són les principals parts d'un "problema per demostrar"; la incògnita, les dades i les condicions són les principals parts d'un "problema per resoldre". Ocupa't de les parts principals del problema, considera-les una per una, torna-les a considerar, considera-les després combinant-les entre si, establint les relacions que hi pugui haver entre cada detall i els altres i entre cada detall i el conjunt del problema.

-       Què hi guanyo fent això? Estàs preparant i aclarint detalls que probablement entraran en joc més tard.

En busca d'una idea útil

-       Per on he de començar? Comença per considerar les parts principals del problema. Comença quan aquestes parts estiguin, per tu, clarament disposades i concebudes, gràcies al teu treball previ, i quan consideris que la teva memòria "respon".

-       Què puc fer? Considera el problema des de diferents punts de vista i busca punts de contacte amb els teus coneixements prèviament adquirits. Considera el problema des de diferents punts de vista. Subratlla les diferents parts, examina els diferents detalls, examina els mateixos detalls repetidament, però de diferent mode, combina entre si els detalls de diferents maneres, ataca'ls per diferents costats. Tracta de veure un nou significat a cada detall, una nova interpretació de tot el conjunt. Busca punts de contacte amb els teus coneixements adquirits prèviament. Intenta de recordar en què t'han ajudat abans en circumstàncies anàlogues. Tracta de reconèixer alguna cosa familiar en el que examines i de trobar alguna cosa útil en el que reconeixes.

-       Què puc trobar? Una idea que et sigui útil, potser una idea decisiva que t'ensenyi de cop com arribar a la solució del problema.

-       Com pot ser útil una idea? Fent-te veure el conjunt del problema o una part d'aquest. Et suggereix més o menys clarament com pots actuar. Les idees són més o menys terminants. És una sort tenir una idea sigui quina sigui aquesta.

-       Què puc fer amb una idea incompleta? L'has de considerar. Si sembla encertada, l'has de considerar més a fons. Si sembla digna de confiança, has d'esbrinar fins on et pot dur i has de tornar a examinar la situació. La situació ha canviat gràcies a una idea útil. Considera la nova situació des de diferents punts de vista i busca punts de contacte amb els teus coneixements previs.

-       Què hi guanyo tornant a fer això? Pots tenir la sort de trobar alguna altra idea. Potser la nova idea et condueixi directament al camí de la solució. Potser necessitis encara alguna idea més. Àdhuc és possible que alguna d' aquestes idees et desviï del camí correcte. Tan mateix això, has d'alegrar-te per tota idea nova que surti, també per les de poca importància o confuses, i també per les idees suplementàries que afegeixin alguna precisió a una idea confusa o permetin la correcció d'una idea no tan afortunada. Àdhuc si, durant una estona no se't presenta una idea veritablement bona; considera't afortunat si la teva concepció del problema es fa més completa o més coherent, més homogènia o més equilibrada.

Execució del pla

-       Per on he de començar? Comença per la idea feliç que et condueix a la solució. Comença quan estiguis segur de tenir el punt de partida correcte i estiguis segur de poder superar els detalls menors que puguis necessitar.

-       Què puc fer? Assegura't que tens una plena comprensió del problema. Fes en detall totes les operacions (algebraiques o geomètriques) que prèviament has reconegut com factibles. Comprova la validesa de cada pas, bé per una raonament formal , bé per un discerniment intuïtiu o per ambdós mitjans, si és possible. Si el problema és molt complex, pots distingir "grans" passos compostos de diversos "petits" passos. Comprova primer els grans passos i considera després els petits.

-       Què hi guanyo fent això? Una presentació de la solució per la qual l'exactitud i la correcció de cada pas no ofereix cap dubte.

Visió retrospectiva

-       Per on he de començar? Per la solució, completa i correcta en tots els seus detalls.

-       Què puc fer? Considerar la solució des de diferents punts de vista i buscar els punts de contacte amb els seus coneixements previs. Considerar els detalls de la solució i tractar de fer-los tan senzills com es pugui; torna'ls a examinar més extensament i tractar de condensar-los; captar a primer cop d'ull la solució completa. Variar, per millorar-les, tan les parts principals com les secundàries;  millorar la solució en el seu conjunt de forma que es faci evident per ella mateixa i quedi gravada, de forma natural, en el conjunt de coneixements previs. Examinar amb atenció el mètode que ha portat a la solució,  captar la seva raó de ser i la seva aplicació a altres problemes. Examinar amb atenció el resultat i buscar la seva aplicació a altres problemes.

-       Què hi guanyo fent això? Pots trobar una solució millor i diferent, descobrir nous fets interessants. En tot cas, amb l'hàbit de considerar les solucions i examinar-les atentament, s'assoleixen una sèrie de coneixements correctament ordenats utilitzables en qualsevol moment, alhora que es desenvolupa l'aptitud en la resolució de problemes.