Tres problemes de construcció

Bon dia!

Avui tres problemes de construcció amb una idea comuna.

Primer problema

Donat un segment, s'ha de construir un triangle equilàter que tingui per altura el segment.

Segon problema

Ara un problema que George Pólya resol en el seu llibre How to solve it.

Donat un triangle, inscriure-hi un quadrat de forma que tingui dos vèrtexs en un dels costats i els altres dos, cada un, en un dels altres costats.

Tercer problema

Donades tres rectes paral·leles construir un triangle equilàter que tingui un vèrtex sobre cada una de les rectes paral·leles.

Solucions a tres problemes de construcció

Bon dia!

Tornem a tenir solucions de la Pili Royo i d'en Lluís Serra.

La Pili dona solució als dos primers problemes. Són aquestes:

Al solucionar el primer problema la Pili no aclareix dues coses que em semblen importants. Primer que el radi de la circumferència, ella diu AB, però al dibuix és AG, és la mida del segment que volem que sigui l'altura del triangle equilàter. Tampoc aclareix per què el triangle IHJ és equilàter i té l'altura desitjada. En el cas del GIH la cosa és més clara.

En la solució del segon d'entrada sembla un xic embolicada però després va explicant coses més interessants com l'aparició de la idea d'homotècia.

En Lluís dona les següents solucions als problemes

Les dues solucions que dona al primer problema són originals i m'han agradat. Al segon problema diu que es tracta de fer una homotècia i ja està. El tercer el soluciona com vam explicar al club de matemàtiques. I al final de tot dona una tercera manera de resoldre el primer. És la que porta la idea comuna al tres problemes. Està molt bé això que fa en Lluís  amb el primer. No quedar-se amb una única solució. Pólya deia que preferia trobar 5 solucions diferents a un problema que no resoldre 5 problemes diferents.

La idea de que utilitza en Lluís per resoldre el primer problema, el tercer cop seria la següent. Construeixo un triangle equilàter qualsevol. Si tinc sort potser l'altura sigui la que toca, però si no puc estirar o encongir el triangle per què  ho sigui. És a dir, utilitzar al idea que tots els triangles equilàters són semblants. En el dibuix podem veure que hem superposat l'altura h al l'altura del triangle equilàter i hem traçat paral·leles obtenint el triangle desitjat.

El problema d'inscriure un quadrat en un triangle donat seguint les directrius de Pólya consistiria a pensar que si d'entrada no soc capaç de posar el quart vèrtex sobre els costats del triangle si més no puc provar de posar-ne 3. Deixar una de les condicions en suspens. La idea seria d'agafar un punt a la base, traçar una perpendicular a la base fins que talli un dels costats. Amb la mesura del segment així determinat construir un quadrat. Si tenim sort ens donarà la solució però el més probable és que el quart vèrtex no estigui sobre el tercer costat. Puc provar amb un altre punt de la base fent exactament el mateix i així adonar-me que els vèrtexs que no estan ben posats estan alineats amb el vèrtex A del triangle. Això em pot portar a la idea d'homotècia i a solucionar el problema com han fet la Pili i en Lluís.

Una solució molt maca però poc instructiva des del punt de vista didàctic és la següent: es construeix un quadrat de costat la base, per sota, els vèrtexs externs del quadrat s'uneixen amb el tercer vèrtex del triangle. Els punts de tall donen el costat del quadrat a inscriure.

Pel que fa al problema de posar un triangle equilàter que tingui els tres vèrtexs cada un sobre tres rectes paral·leles, en Lluís explica bé com trobar la solució però no dona cap argument sobre el perquè, el que ell anomena vèrtexs C₁, C₂, ... han d'estar sobre una recta. Fixeu-vos que a l'anar dibuixant els triangles equilàters de vèrtex A fixa, el vèrtexs B₁, B₂, .... els mouen sobre una recta i com que des d'A, els vèrtexs C₁, C₂, ... estan a la mateixa distància que aquells i girats 60⁰ dels altres, aquests, C₁, C₂, ..., també es mouen sobre una recta que està girada 60⁰ respecte de la que es mouen els B₁, B₂, ...

Aquí també seguim la recomanació de Pólya de deixar una de les condicions en suspens, que el trercer vèrtex estigui sobre la tercera paral·lela. Això ens ha permès descobrir que aquests vèrtexs es troben tots sobre una recta.

Ara si ho desitgeu, us podeu plantejar el mateix problema però de forma que les rectes no siguin paral·leles. O fins i tot, que en lloc de rectes tinguem circumferències. I, si encara voleu anar més enllà, podeu considerar que els triangles no siguin equilàters sinó semblants a un triangle donat.