Aquest problema m'ha acompanyat durant tota
la meva vida professional. Fet en gran grup, uns 80 alumnes, el treballen en
petits grups, de 4 o 5 alumnes, mentre van descobrint coses, van creant les
seves hipòtesis,.. Em serveix per mostrar-los com és el treball matemàtic en
realitat. Fet així en confinament no sé quin resultat tindrà.
Problema
de les portes
Un hotel disposa
de 5000 habitacions i de 5000 cambrers. Totes les portes estan numerades de l'u
al 5000 i els cambrers també.
Els cambrers tenen
el següent costum, més aviat ximple: el primer cambrer obre totes les portes de
les habitacions; el segon cambrer comença tancant la porta número 2, salta la
3, tanca la 4, salta la 5, tanca la 6,
...; el tercer cambrer canvia de posició començant per la porta número 3, salta
la 4 i la 5, canvia de posició la 6, salta la 7 i la 8, canvia de posició la 9,
...; el quart cambrer canvia de posició començant per la número 4, salta la 5,
6 i 7, canvia de posició la 8, salta la 9, 10 i 11, canvia de posició la 12
...; el cinquè cambrer canvia de posició començant per la porta número 5, salta
la 6, 7, 8 i 9, canvia de posició la 10, salta la 11, 12, 13 i 14, canvia de
posició al 15, … Així fins que ha passat l'últim cambrer, el 5000, que canvia
de posició la porta 5000.
Es demana: quines
portes quedaran obertes al final?
Algunes
indicacions
1.
Fixeu-vos que no es demana
quantes portes, sinó quines.
2.
Fixeu-vos que a partir del
tercer cambrer hem de dir que canvia la posició de les portes, ja que de les
portes que toca n'hi haurà d'obertes i d'altres tancades.
3.
És possible que hi hagi gent
que resolgui el problema ràpidament, felicitats!
4.
Si feu el problema en grup hi
ha algun membre que veu la solució més ràpid que la resta, aquest, seria bo que
no la desvetllés a la resta, perquè, si voleu aprendre a resoldre problemes, és
convenient que trobeu el màxim de coses per vosaltres mateixos.
5.
Si no veieu com resoldre'l, us
aconsello fer un xic de treball de camp.
6.
El problema no està resolt si
us sembla que heu identificat quines portes estan obertes, sinó quan esteu
segurs que realment són aquestes.
Solució
al problema de les portes
Vaig a intentar explicar el que passava
normalment quan proposava aquest problema als alumnes de primer de magisteri.
Es tractava normalment de grups de 80 alumnes. Un cop enunciat el problema els
feia seure per grups de 4 a 6 alumnes en rodona i els deia que es posessin a
treballar. Costava força de trencar el gel i que realment s'hi posessin, però,
poc a poc, agafaven paper i llapis i començaven a fer alguna cosa. Molts grups
el primer que feien era descompondre 5.000 en factors primers, ai!
Durant el primers 10 minuts passava pels
grups i controlava què feien. Molts em deien si havien de treballar amb el
5.000. Els responia que què en pensaven, si creien que era un professor
raonable i que el que els proposava havia de ser una cosa que ells poguessin
fer. Costava, però al cap de poc temps veient que una bona idea podia ser
simplificar, alguns simplificaven fins a 10, d'altres fins a 20,... Quan ja hi
havia un grup prou nombrós de grups que havien simplificat, agafa el control de
la classe i feia pública la idea de simplificar i a partir d'aquí el que
s'havia de fer era mirar quines quedaven obertes i quines no.
Arribats aquí, la majoria de grups feia
unes taules immenses que ara no repetiré però que de forma simplificada es
podrien expressar de la següent manera:
1
2 3 4
5 6 7
8 9 10 11
12 13 14
15 16 17
18 19 20
....
O T
T O T T
T T
O T T
T T
N'hi havia que amb els 10 primers ja volien
trobar alguna cosa, d'altres s'equivocaven, d'altres anaven fent càlculs i més
càlculs sense mirar res...
Els deia que el que estaven fent era
treball de camp. De la mateixa manera que ho fa qualsevol biòleg, o científic
que primer recull un seguit de dades dels seus experiments, els matemàtics quan
volen descobrir una determinada propietat ho fan exactament igual i que aquesta
fase és molt important.
Algun grup era capaç de veure que les
portes que tenien un nombre primer quedaven totes obertes. Ho remarcàvem a la
pissarra. De moment teníem tres coses que havien servit. Primer simplificar,
segon fer treball de camp i després que les portes amb un nombre primer
quedaven obertes.
També es descobria que els cambrers que
tocaven una porta determinada, per exemple, el 12, eren els seus divisors, 1, 2
, 3, 4, 6 i 12.
Tornàvem a la taula i amb aquestes darreres
observacions l'anàvem completant. Una pregunta que també feien de forma
recurrent és fins on havien de continuar. Cada vegada que apareixia una porta
tancada, m'apartava de la pissarra i obserbava des de lluny la taula i els
preguntava si hi veien alguna cosa.
Suposem que hem arribat al 16, tindríem
aquesta situació:
1
2 3 4
5 6 7
8 9 10 11
12 13 14
15 16 17
18 19 20
....
O T
T O T T
T T
O T T
T T T
T O T
T
Hauríem posat la T al 17 i el 19 perquè
eren primers.
Quan feia tot això la majoria de grups ja
havien descobert el que ve a continuació.
Feia la següent pregunta: Hi ha alguna cosa
que us cridi l'atenció en aquesta taula, no deixava respondre als que ja havien
vist la propietat i si cap altre grup es manifestava els deia que havien de
continuar amb el treball de camp. La majoria però eren conscients que hi havia
una pauta, regularitat deien ells: entre la primera i la segona porta obertes,
hi ha dues portes tancades, entre la segona i la tercera obertes, quatre
tancades, entre la tercera i la quarta obertes, sis tancades,...
Aleshores preguntava: Quina creieu que
seria la propera porta oberta? Com la podríem trobar? La majoria contestava que
havíem de deixar 8 portes tancades i la novena hauria d'estar oberta. Trobàvem
que aquesta porta havia de ser 16+9=25, i els preguntava: Ara què hauríem de
fer? Alguns, pocs, deien que comprovar-ho. Ho fèiem, els divisors eren 1, 5 i
25, el primer cambrer l'obria, el cinquè la tancava i el 25è l'obria. Perfecte!
Quina seria la següent? 25 més deu portes tancades, 35 i per tant la següent,
36, havia d'estar oberta. Què havíem de fer ara? Comprovar-ho. Els divisors de
36 són, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36. Comprovàvem que realment 36 quedava
oberta. D'aquesta manera continuàvem i vèiem que 49=36+13; 64=49+15; 81=64+17;
..... eren les portes que quedaven obertes.
Algun alumne preguntava: I ara, hem de
continuar així fins a 5.000?
Escrivia les portes obertes.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ....
i els preguntava si aquests nombres els
deien alguna cosa. Per la majoria eren perfectes desconeguts. Algun arribava a
dir que eren nombres que s'obtenien de multiplicar un nombre per ell mateix,
per exemple 36=6*6.
Com es diuen aquests nombres? Pocs
arribaven a dir els quadrats. Bé, però, d'una manera o altra arribaven a veure
que semblava que aquests nombres eren realment les portes que quedaven obertes.
Els hi feia veure que ara teníem una manera molt més eficient de trobar les
portes obertes, que havíem canviat de pauta, per comptes d'haver de saltar
primer 2, després 4, 6, 8,.... Ara podíem dir que semblava que les portes
obertes eren els nombres quadrats. Què era el primer que havíem de fer?
Continuar comprovant. Ho fèiem amb 100, 121, 144,... i algú preguntava, així
fins quant? D'altres deien que ja n'estaven segurs que els quadrats eren les
úniques portes que quedaven obertes. Un cop aquí els feia observar que tot just
havíem comprovat els quadrats i no sabíem si hi havia algun nombre que no fos
quadrat i que la porta quedés oberta i que també hauríem de comprovar alguns
dels no quadrats. Si alguns que es posaven tossuts amb que ja ho tenien clar,
els hi deia que el 3.600, que evidentment era un quadrat, jo afirmava que era
una porta que no quedava oberta, i que el 2747, que no ho era, quedava oberta, algú
s'hi juga una sopar? La majoria es feia enrere. Amb això el que pretenia era
que veiessin que no n'hi havia prou amb tenir una pauta que semblava certa,
sinó que s'havia de tenir un argument que ens fes veure de forma clara perquè
els quadrats eren els únics nombres de les portes que quedaven obertes.
En aquest punt, els recordo que tots els
primers són portes tancades i els pregunto si no hi ha altres portes tancades.
Mirant la taula tenim que el 6, no és primer i queda tancat, per què? Perquè té
4 divisors, diu algú, els primers queden tancats perquè només en tenen 2, el 6
com que en té 4 també...
Això els fa veure una altra manera de veure
el problema, si un nombre té un nombre parell de divisors quedarà tancat i per
tant si té un nombre de divisors senars quedarà obert. Ah! Les portes que
queden obertes són les que tenen un nombre de divisors senars, ja està.
Clar, els deia. Això és una cosa que veieu
ben clara. Si una porta té un nombre de divisors parell quedarà tancada, perquè
un nombre parell es pot reduir a la meitat d'obre, tanca, obre, tanca, ....,
mentre que si té un nombre de divisors senars quedarà oberta, perquè després
d'un nombre parell d'obre, tanca vindrà l'últim obre. Per tant, estem segurs
que les portes que queden obertes són les que tenen un nombre de divisors
senars.
Fixeu-vos, els deia, que ara si us donen un
nombre, per exemple 3960, d'entrada, si no calculeu quants divisors té, no podeu
saber si queda obert o tancat. Mentre que, si suposem, que els nombres quadrats
són les portes que queden obertes, fent l'arrel quadrada sabrem si queda oberta
o tancada. Ara tenim dues caracteritzacions de les portes que queden obertes.
Una que n'estem segurs: Si té un nombre de divisors senars queda oberta i una
altra que suposem: si és un quadrat perfecte queda oberta. Com és possibles fer
compatible aquestes dues caracteritzacions? Costa una xic, però després d'estar
insistint en el tema, sempre els dic que és molt important que siguin ells
mateixos els que arribin a formular les qüestions, hi ha algun alumne que diu:
Els quadrats són els únics nombres que tenen un nombre de divisors senars.
Perfecte! I aleshores, dic Teoreme (el nom de l'alumne) i escric l'enunciat que
ha formulat.
Com podem veure que el teorema és cert? A
vegades, aquesta fase costava força. El que els proposova era tornar a fer un
treball de camp. Els demanava que diguessin nombres que fossin quadrats i
altres que no ho fossin buscant els divisors i veient que tots els quadrats
tenen un nombre de divisors senars i el no quadrats un nombre parell. Si no hi
havia ningú que veiés res, demanava que algú em digués un nombre relativament
bèstia del que no tinguéssim ni idea de si era quadrat o no i dels seus
possibles divisors, per exemple 3234, i els demanava si tenen clar algun
divisor. Tots contestaven el 2, fèiem la divisió, obtenint 1617, i fent de mal
professor, és a dir, dient més del que és precís, els preguntava si no havíem
obtingut un altre divisor. Alguns veien que el 1617 també ho era. Continuava i
preguntava si no hi havia una altre divisor clar. Si sabent el cirteri de
divisibilitat del tres, veien que el 3 ho era, fèiem la divisió i sortia 1078.
Preguntava tenim el 3 i algun altre? Ja aconseguia que més diguessin el 1073.
Com que no era divisible per 5, provàvem amb el 7, i obteniem 462. A partir
d'aquí costava relativament poc fer entendre que els divisors d'un nombre els
podíem aconseguir per parelles.
Aquí, em feia el sorprés i deia: Així tots
els nombres han de tenir un nombre parell de divisors, no? Caram! Com pot ser
que n'hi hagi que en tinguin un nombre senars? Ah! hem dit que són els quadrats.
Què deu passar? Agafàvem un quadrat senzillet, per exemple el 100, i vèiem què
passava. L'1 s'aparellava amb el 100, el 2 amb el 50, el 4 amb el 25, el 5 amb
el 20 i el 10.... amb el 10, ell mateix. Clar! Si un nombre és un quadrat té
tot de parelles de divisors diferents però hi ha un divisor que s'aparella amb ell
mateix i per tant només compte una vegada i per tant el nombre divisors és senars
segur.
Ja ho tenim! Les portes que queden obertes
són els quadrats perfectes, ja que aquestes són el únics nombres que tenen un
nombre de divisors senars i perquè una porta quedi oberta han de passar-hi un
nombre de cambrers senars.
Un cop acabat tot això, feia veure als
alumnes que després de tot el procés havíem estat capaços de primer enunciar un
teorema que havíem trobat de forma experimental, i finament demostrar-lo i que en
gran mesura havien estat ells els que ho havien aconseguit.
Havien estat capaços de fer la feina que fa
un matemàtic. Primer simplificar el problema, fer un treball de camp per tal
d'intentar trobar alguna pauta, si aquesta pauta no era practicable mirar de
transformar-la en una de més adequada. Crear una conjectura, el teorema, a partir
d'una cosa de la qual estàvem segurs i d'una altra que semblava que ho havia de
ser i finalment trobar un argument que justifiqués de forma clara que el
teorema havia de ser cert.
Un cop fet tot això, durant gran part del
curs quan hi havia una cosa que podia no estar clara, els deia: Heu entès això
tan bé com que els quadrats són els únics nombres que tenen un nombre de
divisors senars? En matemàtiques, sempre les coses han de ser tan clares com
això.
Com a apunt final i seguint la quarta fase
de la resolució d'un problema de Pólya, un s'ha de preguntar: de quina manera
puc aprofitar aquest problema per tal de resoldre altres qüestions?
A partir de la idea que els divisors d'un
nombre els podem trobar per parelles, podem aconseguir un criteri, molt
senzill, per saber si un nombre és primer o no. N'hi ha prou amb dividir per
tots els primers més petits que l'arrel quadrada del nombre, si no trobem cap
divisor el nombre és primer.
Aplicant aquest criteri, quins dels
següents nombres són primers?
323, 2393, 4001 i 12797.
Per acabar, quan era professor d'Estalmat,
sigles de "Estimulación del talento matemático", una activitat que
anava dirigida a alumnes, de 12 i 13 anys, especialment dotats per les
matemàtiques, els proposava aquest problema entre molt d'altres. Un dia, un alumne
em va dir això és trivial, donat que perquè una porta quedi oberta el nombre de
divisors de la porta ha de ser senars i com que els divisors d'un nombre els podem
obtenir per parelles, perquè sigui senars el nombre ha de ser un quadrat per
tenir una parella amb un sol divisor.
Més clar l'aigua.
Xavier, recordo aquest problema per la curiositat que em va despertar en una de les teves classes de formació de mestres. També he hagut de tornar a tornar a pensar-ho, però ja tenia l'avantatge d'haver-ho fet abans :-)
ResponEliminaProvant amb les primeres portes aviat ens adonem que queden obertes la 1, la 4, la 9... Es tracta de quadrats perfectes... Serà sempre així? Bé, doncs cal mirar quantes vegades canviarem la posició de les portes. Ja veiem que cada cambrer canvia la posició d'aquelles que són múltiple del seu número. Així, per cada porta passaran els corresponents cambrers (divisors). I quants divisors té un nombre? Tant és, el que importa és que serà un nombre parell de vegades (per exemple, els divisors de 6, escrits de forma aparellada, són 1-6, 2-3)... excepte en el cas dels quadrats perfectes! (així, els divisors de 9, aparellats, són 1-9, 3-3... però el 3 està repetit). Finalment, si una porta està tancada i li canviem la posició un nombre senar de vegades, acabarà oberta.
Bé, si més no algú recorda alguna cosa del que explicava.
EliminaPer cert, qui ets?
Xavier, sóc la Pili Royo :-) Veig que no surt el meu nom...
EliminaSuuuper ben explicat tot el procés!! Ja t'imaginem fent les classes. I el punt de fer "teatre" (teiatru ?), de fer-se el sorprès, d'entrar al joc amb ells...
ResponElimina