El vint

Es tracta d'un joc per a dues persones. Tenim una pila amb 20 pedres i cada jugador al seu torn en pot agafar una o dues. Guanya qui s'enduu l'última pedra, amb el benentès que si en queden dues no seràs tan beneit d'agafar-ne una i deixar que guanyi l'adversari.

Apa! Ja podeu jugar.

Si heu jugat una estona suposo que haureu descobert alguna manera de guanyar de forma segura. Qui guanya amb la vostra estratègia, el primer a jugar o el segon? En què es basa la vostra estratègia? Pot explicar-la de forma clara?

Primeres variants

Què passa si a la pila hi ha 21 pedres? Com varia l'estratègia?

I si n'hi ha 22? I en general si hi ha n pedres què faríeu per guanyar depenent del valor de n?

Més variacions

Suposem ara que a la pila hi ha 20 pedres i cada jugador al seu torn en pot agafar una, dues o tres. Com varia l'estratègia?

I si a la pila hi ha 21 o 22 pedres?

I si n'hi ha n?

Què passa si cada jugador al seu torn en pot agafar una, dues, tres o quatre?

En general, quina és l'estratègia si a la pila hi ha n pedres i cada jugador al seu torn en pot agafar d'una a r, sent r, un nombre natural més gran que 2?

Última variació

Ara a la pila hi ha 20 pedres i cada jugador al seu torn en pot agafar una, tres o cinc. Quina estratègia podeu fer?

Que us divertiu jugant!

Solució al joc del vint

Bon dia!  Com va el confinament?

Bé, com que ningú m'ha dit res sobre el joc del vint, donaré la solució fent veure que soc un alumne un xic espavilat.

Si hi heu jugat unes quantes vegades, us haureu adonat que si podeu deixar 3 pedres a l'adversari teniu la victòria assegurada, ja que si l'altre jugador agafa una pedra, agafareu les dues que queden mentre que si l'altre n'agafa dues, agafareu la que queda.

Per tant, ara hem de veure com en podem deixar 3? Si el nostre adversari ens en ha deixat 4 o 5, podem deixar-n'hi 3 agafant-ne 1 o 2 respectivament, però si ens n'ha deixat 6, no ho podrem fer si ell juga correctament. Ah! així 6 és una altra situació -com el 3- perdedora.

Vaja, ja veig el truc, altres situacions perdedores per qui se les troba seran 9, 12, 15...  El que he de fer per guanyar, doncs, és deixar al contrincant sempre múltiples de 3, en conseqüència, si vull guanyar la partida i puc començar a jugar he d'agafar 2 pedres i en deixaré 18 i a partir d'aquí he d'anar baixant de 3 en 3, si ell n'agafa 1, jo 2, i si n'agafa 2, jo 1, fàcil.

Clar, que si vol començar ell, què faig? Bé, si coneix l'estratègia no tinc res a fer, però si no la coneix, he d'esperar que em doni l'oportunitat de deixar-l'hi un múltiple de 3.

Una forma de veure clarament aquesta estratègia consisteix en posar les 20 pedres de la següent manera:

Suposo que no cal aclarir res més. De tota manera si voleu jugar amb algú i guanyar, millor que les poseu en un piló. Fixeu-vos que un cop trobada l'estratègia el joc desapareix ja que està completament determinat.

Què passa si per comptes de 20 pedres n'hi ha 21? En aquest cas, com que 21 és múltiple de 3, deixarem que comenci el contrincant i aplicarem l'estratègia anterior.

Si n'hi ha 22, voldrem començar i n'agafarem 1.

En general, si tenim n pedres, i en podem agafar 1 o 2, l'estratègia és, si n és múltiple de 3, deixar que comenci l'adversari i si ell n'agafa 1 nosaltres 2, i al revés. Si n no és múltiple de 3, començarem nosaltres i n'agafarem 1 o 2 per tal de deixar un múltiple de 3, i a partir d'aquí farem sempre el moviment contrari a ell.

Suposo que si heu seguit fins aquí ja haureu vist com s'ha d'actuar en el cas de que puguem treure una dues o tres pedres. Una bona manera de començar és passar de les 20 pedres inicials, simplificar el problema, que sempre és útil, i plantejar-se què passa si a la pila hi ha una, dues o tres pedres, qui comença guanya. Si n'hi ha 4, perd qui comença, no? Evident perquè tregui les que tregui, el segon sempre pot completar les 4. Per tant en aquest cas, les situacions inicials perdedores seran els múltiples de 4. I així, com hem fet en el cas anterior.

Si volen resoldre el cas més general, en què tenim n pedres i a cada torn en podem treure de una a r, sent r un nombre natural més gran que 1, aleshores l'estratègia guanyadora consisteix que si n no és multiple de r+1, comencem nosaltres i traiem les que sigui necessari per deixar-ne un múltiple de n+1, a partir d'aquí si l'adversari n'agafa s ≤ r, nosaltres n'agafem r+1-s i així tota l'estona, fins agafar l'última. Si n és múltiple de r+1, aleshores que comenci l'altre.

Cal tenir present, sempre, que un cop sabem l'estratègia el joc desapareix ja que, si juguem seguint l'estratègia, el guanyador està perfectament determinat.

Passem a l'última proposta. Suposo que haureu vist que en aquest cas ni tan sols hi ha joc. Per veure-ho clar, simplifiquem el problema al màxim. Suposem que hi ha 1 pedra al començar. Evidentment guanya el primer. Però... què passa si hi ha 2 pedres, ara les regles no permeten agafar-ne dues i el primer n'ha d'agafar 1 i el segon guanya. I si n'hi a 3 al principi, guanya el primer. Si n'hi a 4, el segon. Ai caram!

Fixeu-vos en podem treure 1, 3, o 5 que són nombres senars i per tant si al principi hi ha un nombre de pedres parell, després de jugar el primer en deixarà un nombre senar, al jugar el segon en deixarà un nombre parell, i així tota l'estona, no? Com que 0, és un nombre parell, el primer no pot guanyar mai i sempre guanya el segon. Si el nombre de pedres inicial fos senar aleshores tot aniria al revés i sempre guanyaria el primer. Aquí, des del principi, no hi ha joc ni existeix estratègia. Perquè el teòric guanyador depèn del nombre de pedres inicial, sense que els jugadors hi puguin fer res.

Portem la qüestió un xic més enllà. Què passaria si proposés el següent joc: hi ha una pila amb 21 pedres i cada jugador al seu torn en pot agafar 2 o 4? En aquest cas no hi ha manera de poder acabar la partida, al final sempre en quedarà 1 i cap jugador la podrà agafar.

Més jocs amb pedres o flors

Fins ara en tots aquests jocs hem jugat, al que tècnicament s'anomena la versió positiva, és a dir, guanya qui agafa l'última pedra. Podeu estudiar què passa quan qui agafa l'última pedra perd, que aleshores anomenem versió negativa.

La margarida

Tenim margarida amb 23 pètals i cada jugador al seu torn pot agafar un o dos pètals, però si n'agafa dos han d'estar junts, no poden estar separats. Guanya qui agafa l'últim. Encara que el joc -aparentment- s'assembli molt al primer, és molt diferent.

El Nim

Tenim uns quants pilons de pedres amb unes quantes pedres a cada pilò. Cada jugador al seu torn pot agafar el nombre de pedres que vulgui d'un dels pilons, una com a mínim. Guanya qui agafa l'última pedra.

Apa, ja teniu feina!