Tres problemes de geometria

Bon dilluns de Pasqua, dia de la mona!

Com que, que, tot i que veig que hi ha força gent que ha entrat a mirar els problemes que he proposat, no hi ha ningú que hagi donat cap solució he decidit que a partir d'ara proposaré problemes que no hagi fet.

He seleccionat tres problemes que he conegut darrerament, cosa que no vol dir que no corrin per la xarxa.

Són problemes geomètrics que fan referència a qüestions d'àrees amb un enunciat força simple.

Primer problema

Aquest problema és relativament facilet. El quadrat està dividit en 4 triangles. Sabent l'àrea de tres d'ells, s'ha de dir què val l'àrea del quart. No s'hi val a donar pura i exclusivament el resultat, s'ha d'argumentar el perquè.

Segon problema

Aquest problema és similar al primer però un xic més difícil. En aquest cas tenim un quadrat dividit en quatre quadrilàters. Des d'un punt interior i unint-lo amb els punts mitjos dels costats, es donen les àrees de tres quadrilàters. S'ha de dir què val la del quarts. No s'hi val a donar pura i exclusivament el resultat, s'ha d'argumentar el perquè.

Tercer problema

l'últim problema és bastant més difícil. Donat un quadrilàter qualsevol, es tracen les dues daigonals, que el divdeixen en quatre triangles. Sabem les àrees de tres dels triangles i s'ha de dir què val la del quart. No s'hi val a donar pura i exclusivament el resultat, s'ha d'argumentar el perquè.

Molt important, trobareu la resolució als problemes dels mitjons i dels cabells al final dels enunciats del dia 6 d'abril. Les resolucions dels problemes les podreu trobar sempre al final dels enunciats del dia pertinent.

Solució als tres problemes de geometria

Bon dia!

Avui he tingut un xic més d'èxit: hi ha hagut 4 comentaris als problemes. Com que sóc terriblement Pólyà, i veig que a part dels comentaris hi ha més gent que si més no fa una ullada als problemes, demanaria que si voleu indicar-me solucions ho feu a l'adreça de correu electrònic:

probscovid19@gmail.com

així evitarem que la gent vegi la solució i no la pugui barrinar per ell mateix.

De les solucions al tres problemes, les dels dos primers són idèntiques a les que he donat per la qual cosa no hi afegirem res més. La solució que algú ha donat al tercer, és diferent a la que dono i, per tant, sí que la voldria comentar.

Primer problema

Aquest primer problema era relativament fàcil de resoldre. N'hi havia prou de traçar les perpendiculars des del punt interior del quadrat i adonar-se que la suma dels triangles oposats pel vèrtex equivalen a la meitat del quadrat i a partir d'aquí fer els càculs pertinents.

Fixeu-vos que aquesta propietat no depèn del punt que haguem seleccionat.

Si volem anar un xic més enllà, ens podríem preguntar si la propietat és certa per altres quadrilàters que no siguin un quadrat. Com ho veieu?

Segon problema

Aquest segon problema me'l va proposar fa uns dies el meu amic i company Jordi Deulofeu. Vaig tenir la sort que havia fet el primer problema feia un temps i això em va permetre resoldre el segon de forma ràpida. Si unim el punt interior  amb els vèrtexs del quadrat obtenim el quadrat dividit en 8 triangles que són dos a dos equivalents i, a més a més, tenim que els segments puntejats ens remeten al primer problema. És a dir, que les dues parelles de triangles equivalents que recolzen sobre els costats horitzontals sòn la meitat del quadrat i el mateix passa amb la resta. D'aquí deduïm fàcilment que les dues  parelles quadrilàters oposats pel vèrtex també són equivalents a la meitat del quadrat.

Com en el primer problema, aquesta propietat no depèn del punt que haguem seleccionat. Aquí també, si volem anar un xic més enllà, ens podríem preguntar si la propietat és certa per altres quadrilàters que no siguin un quadrat. Com ho veieu?

Tercer problema

Aquest problema me'l va proposar el meu amic i company Lluís Bibiloni, comentant precisament la solució del problema anterior. No vaig tenir temps a pensar la solució, cosa molt poc Pólyana, sinó que em va exposar la seva solució que seguidament explico. Si anomenem els vèrtexs del quadrilàter per A, B, C  i D, i el punt de tall de les diagonals per E, tenim que les àrees dels triangles ABE i BCE, són proporcionals als  segments AE i EC. De la mateixa manera les àrees dels triangles AED i ECD també són proporcionals als segments AE i EC. És a dir, tenim que:

Àrea(ABE)/Àrea(BCE) = AE/EC = `Àrea(AED)/Àrea(ECD)

i a partir d'aquí la solució del problema és immediata. En aquest cas però el que es manté constant no és la suma de les àrees dels triangles oposats pel vèrtex, sinó els productes.

La solució que un desconegut ha donat està basada en el teorema de Varignon, que diu que si a qualsevol quadrilàter considerem el quadrilàter format pels punts mitjos dels costats, aquest és sempre un paral·lelogram. I aleshores el que fa és considerar aquest paral·lelogram en el cas del nostre quadrilàter. tal i com podeu veure en el següent dibuix:

Diu que les diagonals divideixen el paral·lelogram en 4 paral·lelograms i cada un d'aquests és la meitat de cada triangle. A continuació diu que les àrees dels paral·lelograms són proporcionals i acaba resolent el problema. Això que els 4 pral·lelograms són proporcionals no s'hauria de justificar un xic?.

Dos problemes relacionats de propina

En un paral·lelogram tracem una de les diagonals, sobre aquesta seleccionem un punt, i per aquest, fem passar parl·leles als costats. El paral·lelogram queda així dividit en quatre triangles i dos paral·lelograms. Demostra que aquests paral·lelograms són equivalents.

Al traçar les dues diagonals d’un trapezi aquest queda dividit en quatre triangles. Demostra que els dos que es recolzen sobre els costats no paral·lels són equivalents.