Bon dilluns de Pasqua, dia de la mona!
Com que, que, tot i que veig que hi ha
força gent que ha entrat a mirar els problemes que he proposat, no hi ha ningú
que hagi donat cap solució he decidit que a partir d'ara proposaré problemes
que no hagi fet.
He seleccionat tres problemes que he
conegut darrerament, cosa que no vol dir que no corrin per la xarxa.
Són problemes geomètrics que fan referència
a qüestions d'àrees amb un enunciat força simple.
Primer
problema
Aquest problema és relativament facilet. El
quadrat està dividit en 4 triangles. Sabent l'àrea de tres d'ells, s'ha de dir
què val l'àrea del quart. No s'hi val a donar pura i exclusivament el resultat,
s'ha d'argumentar el perquè.
Segon
problema
Aquest problema és similar al primer però
un xic més difícil. En aquest cas tenim un quadrat dividit en quatre
quadrilàters. Des d'un punt interior i unint-lo amb els punts mitjos dels
costats, es donen les àrees de tres quadrilàters. S'ha de dir què val la del
quarts. No s'hi val a donar pura i exclusivament el resultat, s'ha d'argumentar
el perquè.
Tercer
problema
l'últim problema és bastant més difícil.
Donat un quadrilàter qualsevol, es tracen les dues daigonals, que el divdeixen
en quatre triangles. Sabem les àrees de tres dels triangles i s'ha de dir què
val la del quart. No s'hi val a donar pura i exclusivament el resultat, s'ha
d'argumentar el perquè.
Molt
important, trobareu la resolució als problemes dels
mitjons i dels cabells al final dels enunciats del dia 6 d'abril. Les
resolucions dels problemes les podreu trobar sempre al final dels enunciats del
dia pertinent.
Solució
als tres problemes de geometria
Bon dia!
Avui he tingut un xic més d'èxit: hi ha
hagut 4 comentaris als problemes. Com que sóc terriblement Pólyà, i veig que a
part dels comentaris hi ha més gent que si més no fa una ullada als problemes,
demanaria que si voleu indicar-me solucions ho feu a l'adreça de correu
electrònic:
probscovid19@gmail.com
així evitarem que la gent vegi la solució i
no la pugui barrinar per ell mateix.
De les solucions al tres problemes, les
dels dos primers són idèntiques a les que he donat per la qual cosa no hi afegirem
res més. La solució que algú ha donat al tercer, és diferent a la que dono i,
per tant, sí que la voldria comentar.
Primer
problema
Aquest primer problema era relativament
fàcil de resoldre. N'hi havia prou de traçar les perpendiculars des del punt
interior del quadrat i adonar-se que la suma dels triangles oposats pel vèrtex
equivalen a la meitat del quadrat i a partir d'aquí fer els càculs pertinents.
Fixeu-vos que aquesta propietat no depèn del
punt que haguem seleccionat.
Si volem anar un xic més enllà, ens podríem
preguntar si la propietat és certa per altres quadrilàters que no siguin un
quadrat. Com ho veieu?
Segon
problema
Aquest segon problema me'l va proposar fa
uns dies el meu amic i company Jordi Deulofeu. Vaig tenir la sort que havia fet
el primer problema feia un temps i això em va permetre resoldre el segon de
forma ràpida. Si unim el punt interior
amb els vèrtexs del quadrat obtenim el quadrat dividit en 8 triangles
que són dos a dos equivalents i, a més a més, tenim que els segments puntejats
ens remeten al primer problema. És a dir, que les dues parelles de triangles
equivalents que recolzen sobre els costats horitzontals sòn la meitat del
quadrat i el mateix passa amb la resta. D'aquí deduïm fàcilment que les
dues parelles quadrilàters oposats pel
vèrtex també són equivalents a la meitat del quadrat.
Com en el primer problema, aquesta
propietat no depèn del punt que haguem seleccionat. Aquí també, si volem anar
un xic més enllà, ens podríem preguntar si la propietat és certa per altres
quadrilàters que no siguin un quadrat. Com ho veieu?
Tercer
problema
Aquest problema me'l va proposar el meu
amic i company Lluís Bibiloni, comentant precisament la solució del problema
anterior. No vaig tenir temps a pensar la solució, cosa molt poc Pólyana, sinó
que em va exposar la seva solució que seguidament explico. Si anomenem els vèrtexs
del quadrilàter per A, B, C i D, i el
punt de tall de les diagonals per E, tenim que les àrees dels triangles ABE i
BCE, són proporcionals als segments AE i
EC. De la mateixa manera les àrees dels triangles AED i ECD també són
proporcionals als segments AE i EC. És a dir, tenim que:
Àrea(ABE)/Àrea(BCE)
= AE/EC = `Àrea(AED)/Àrea(ECD)
i a partir d'aquí la solució del problema
és immediata. En aquest cas però el que es manté constant no és la suma de les
àrees dels triangles oposats pel vèrtex, sinó els productes.
La solució que un desconegut ha donat està
basada en el teorema de Varignon, que diu que si a qualsevol quadrilàter
considerem el quadrilàter format pels punts mitjos dels costats, aquest és
sempre un paral·lelogram. I aleshores el que fa és considerar aquest
paral·lelogram en el cas del nostre quadrilàter. tal i com podeu veure en el
següent dibuix:
Diu que les diagonals divideixen el
paral·lelogram en 4 paral·lelograms i cada un d'aquests és la meitat de cada
triangle. A continuació diu que les àrees dels paral·lelograms són
proporcionals i acaba resolent el problema. Això que els 4 pral·lelograms són
proporcionals no s'hauria de justificar un xic?.
Dos
problemes relacionats de propina
En un paral·lelogram tracem una de les diagonals, sobre
aquesta seleccionem un punt, i per aquest, fem passar parl·leles als costats.
El paral·lelogram queda així dividit en quatre triangles i dos paral·lelograms.
Demostra que aquests paral·lelograms són equivalents.
Al traçar les dues diagonals d’un trapezi
aquest queda dividit en quatre triangles. Demostra que els dos que es recolzen
sobre els costats no paral·lels són equivalents.
Primer problema: Les bases dels triangles són iguals (costats del quadrat), i la suma de les altures dels triangles alterns també és igual. Llavors, la suma de les àrees dels triangles alterns ha de ser igual (9.6+3=5+x) Per tant, x=7.6
ResponEliminaSegon problema: Si unim els punts mitjos del quadrat obtenim una nova figura formada per un nou quadrat (d'àrea la meitat de l'anterior) i 4 triangles rectangles iguals d'àrea T. Tenint en compte el que hem vist en el problema anterior i aplicant-ho al nou quadrat obtingut, resultarà que (9-T)+(4.6-T)=(6-T)+(x-T). Finalment, x=6.6
Problema 3: Unim els punts mitjos dels costats del quadrilàter. A l'interior es forma un paral.lelogram amb els costats paral.lels a les diagonals del quadrilàter inicial. Fent el dibuix podem observar que aquestes mateixes diagonals divideixen el paral.lelogram en 4 rectangles d'àrees 2/2, 7/2, 11,8/2 i x/2. Les àrees d'aquests rectangles seran proporcionals, resultant que X= 2*11.8/7 = 23.6/7
Mo ho he comprovat :-( I sense poder dibuixar resulta una mica farragós. Però m'ho he passat molt bé. Gràcies, Xavier! :-)
L' exercici 3, l' he entès, gràcies al comentari 1,poc em sortia. On diu rectangles, crec q hauria de dir paral•lelograms, tot i així la proporció es manté, cosa q m'ha costat un xic de veure, a partir de l' àrea del paral•lelogram. Gràcies.
ResponEliminaSí, tens raó, on diu rectangles hauria de dir paral.lelograms :-)
ResponEliminaDe fet, m'ha ajudat recordar el teorema de Varignon (la demostració és maca, que més o menys diu que en un quadrilàter qualsevol, si unim els punts mitjos dels costats es forma un paral.lelogram d'àrea la meitat de la del quadrilàter inicial (Pili)
ResponElimina