Abans de donar l'enunciat del problema
voldria proposar-ne un altre de facilet i que és tot un clàssic:
Problema
del mitjons
Tenim un cove ple de mitjons tots ben
barrejats. Hi ha 20 parells de mitjons negres i 15 parells de mitjons blancs.
Ens llevem molt aviat i tenim la dona i una criatura petita que dormen a
l'habitació i no les volem despertar encenent el llum i volem agafar el mínim
de mitjons per tal d'estar segurs que en tindrem una parella del mateix color. Quants n'hem d'agafar?
Petita
variació
Quants n'hauríem d'agafar si, a més a més, hi
haguessin 13 parells de mitjons grocs, 23 de blaus i 8 de vermells?
Una
altra posssiblitat
Si en lloc de mitjons tinguéssim
guants, que no fossin reversibles, com variaria el problema?
Problema
dels cabells
A Catalunya, hi ha dues persones amb el
mateix nombre de cabells al cap?
Un
suggeriment i un advertiment
Quines dades necessitaries per resoldre el
problema? No val donar la resposta trivial.
Si em voleu enviar la solució al problema o bé fer qualsevol comentari o suggeriment, ho podeu fer al següent mail:
probscovid19@gmail.com
Fins dimecres
Solucions
als problemes dels mitjons i dels cabells.
Tot i que he pogut observar que al blog hi
ha hagut un cert moviment ningú m'ha fet cap comentari i molt menys ha donat
alguna proposta de solució. Què hi farem!
La que sí que ho ha fet ha estat la meva
neta Sara de 9 anys. Va solucionar el problema dels mitjons de la següent
manera: Agafant tres mitjons només es poden formar quatre combinacions
diferents BBB, BBN, BNN i NNN. És clar, que amb qualsevol d'aquestes sempre
tenim una parella i per tant 3 és el nombre mínim de mitjons que hem d'agafar.
Bravo!
Passem a donar la solució als problemes
proposats.
Comencem pel dels mitjons. D'entrada el
solucionaré de manera elemental. Agafem un mitjó i suposem que és blanc, a l'agafar
el segon pot ser blanc o negre, però suposem que no tenim sort i és negre. A l'agafar
el tercer mitjó segur que tindrem una parella doncs: o bé serà blanc i
l'aparallarem amb el primer o serà negre i el podrem aparellar amb el segon.
Què passa si per
comptes de tenir tot just mitjons blancs i negres, a més a més, en tenim de grocs,
blaus i vermells?
Una bona idea quan
volem resoldre problemes de matemàtiques és anar a poc a poc. Podem suposar que
tot just tenim mitjons blancs, negres i grocs... El pirmer pot ser blanc, el
segon negre i el tercer groc i, per tant, a l'agafar el quart obtindrem una
parella tant si és blanc com si és negre o groc.
Suposo que en
aquest moment ja heu començat a veure que si tenim 5 colors diferents hem
d'agafar 6 mitjons, un més dles colors que tenim i ja està. La idea és forçar
que un dels colors s'hagi de repetir. Aquesta és una idea molt profitosa en
matemàtiques. S'anomena "Principi de les caixes", en castellà,
"Principio del palomar" o d'una manera culta "Principi de
Dirichlet". El seu ennunciat, d'una manera un xic barroera seria:
Principi de Dirichlet
Si tenim una col·lecció d'objectes que
volem posar tots en caixes però no tenim prou caixes en alguna caixa hi haurem
de posar més d'un objecte. Dit més tècnicament, si tenim n objectes i m caixes,
i n > m, al posar els objectes a les caixes n'hi haurà una que en tindrà com
a mínim dos.
Fixeu-vos que en el cas dels mitjons les
caixes serien el nombre de colors, en el primer cas 2 (blanc i negre) i en el
darrer 5 (blanc, negre, groc, blau i vermell) mentre que els objectes serien
els mitjons. Cal fer notar que el nombre de parells per la resolució del
problema és del tot irrellevant.
Deixo la qüestió dels guants per resoldre.
Què passa amb el problema dels cabells?
En aquest cas no tenim cap dada numèrica.
Precisament el suggeriment que feia era intentar trobar quines dades serien
necessàries per solucionar el problema. Una seria saber quants habitants hi ha
a Catalunya. Últimament no deixen de repetir-nos que som 7,5 milions de
persones. L'altra hauria d'estar relacionada amb els cabells, no? L'advertiment
diu que hi ha una solució trivial i que aquesta no l'accepto. Quina deu ser
aquesta solució trivial? No costa gens imaginar-se-la, dues persones
completament calves, és a dir, que no tinguin cap cabell al cap, o sigui, zero
cabells. Ah! a cada persona li podem associar el nombre de cabells que té al
cap. Clar que comptar quants cabells té cada persona al cap seria una cosa molt
poc pràctica.
Per resoldre el
problema en tindríem prou de saber més o menys quants cabells té com a màxim
una persona al cap, no? Si ho busquem en una enciclopèdia o a la xarxa podem
trobar la resposta, uns 150.000.
Bé, ja tenim les
dues dades, ara podríem actuar de la mateixa manera que hem fet, al principi,
amb el problema dels mitjons, suposem que tenim una persona amb 1 cabell, una
segona amb 2, una tercera amb 3, ... fins arribar... evidentment com a màxim a
una amb 150.000. Com que encara ens queden persones forçosament la persona 150.001
ha de tenir menys cabells i ha de coincidir amb alguna de les anteriors. És a
dir, hi haurà dues persones amb el mateix nombre de cabells al cap.
Si tenim clar el
principi de Dirichlet podem dir que com que tenim moltes més persones que
cabells té una persona al cap, ja que segur que hi haurà dues persones amb el
mateix nombre de cabells al cap. De fet podríem assegurar que com a mínim n'hi
haurà 50 amb el mateix nombre de cabells.
Ara, podríem utilitzar el principi per
resoldre més problemes com els següents:
1.
En un casament 12 persones han
de seure al voltant d’una taula rodona on a cada plat hi ha indicat el nom
d’una de les 12 persones. Al seure resulta que no hi ha ningú que segui al seu
lloc. Demostra que podem girar la taula de forma que com a mínim hi hagi dues
persones al seu lloc.
2.
S’han triat setze nombres més
petits que 2.500, de forma que cada dos són coprimers, no tenen divisors comuns
exceptuant 1. Demostra que com a mínim un dels setze nombres és primer.
3.
L’expressió decimal d’una
fracció sempre és, o bé exacta, o bé periòdica. Sabries dir per què?
No hauria relacionat els problemes de la taula i dels nombres primers amb el principi de Dirichlet. I en canvi enfocant-los així te n'adones de com el pots resoldre. Bona pista!
ResponElimina