Problema dels cabells

Abans de donar l'enunciat del problema voldria proposar-ne un altre de facilet i que és tot un clàssic:

Problema del mitjons

Tenim un cove ple de mitjons tots ben barrejats. Hi ha 20 parells de mitjons negres i 15 parells de mitjons blancs. Ens llevem molt aviat i tenim la dona i una criatura petita que dormen a l'habitació i no les volem despertar encenent el llum i volem agafar el mínim de mitjons per tal d'estar segurs que en tindrem una parella del mateix color. Quants n'hem d'agafar?

Petita variació

Quants n'hauríem d'agafar si, a més a més, hi haguessin 13 parells de mitjons grocs, 23 de blaus i 8 de vermells?

Una altra posssiblitat

Si en lloc de mitjons tinguéssim guants, que no fossin reversibles, com variaria el problema?

Problema dels cabells

A Catalunya, hi ha dues persones amb el mateix nombre de cabells al cap?

Un suggeriment i un advertiment

Quines dades necessitaries per resoldre el problema? No val donar la resposta trivial.

Si em voleu enviar la solució al problema o bé fer qualsevol comentari o suggeriment, ho podeu fer al següent mail:

probscovid19@gmail.com

Fins dimecres

Solucions als problemes dels mitjons i dels cabells.

Tot i que he pogut observar que al blog hi ha hagut un cert moviment ningú m'ha fet cap comentari i molt menys ha donat alguna proposta de solució. Què hi farem!

La que sí que ho ha fet ha estat la meva neta Sara de 9 anys. Va solucionar el problema dels mitjons de la següent manera: Agafant tres mitjons només es poden formar quatre combinacions diferents BBB, BBN, BNN i NNN. És clar, que amb qualsevol d'aquestes sempre tenim una parella i per tant 3 és el nombre mínim de mitjons que hem d'agafar. Bravo!

Passem a donar la solució als problemes proposats.

Comencem pel dels mitjons. D'entrada el solucionaré de manera elemental. Agafem un mitjó i suposem que és blanc, a l'agafar el segon pot ser blanc o negre, però suposem que no tenim sort i és negre. A l'agafar el tercer mitjó segur que tindrem una parella doncs: o bé serà blanc i l'aparallarem amb el primer o serà negre i el podrem aparellar amb el segon.

Què passa si per comptes de tenir tot just mitjons blancs i negres, a més a més, en tenim de grocs, blaus i vermells?

Una bona idea quan volem resoldre problemes de matemàtiques és anar a poc a poc. Podem suposar que tot just tenim mitjons blancs, negres i grocs... El pirmer pot ser blanc, el segon negre i el tercer groc i, per tant, a l'agafar el quart obtindrem una parella tant si és blanc com si és negre o groc.

Suposo que en aquest moment ja heu començat a veure que si tenim 5 colors diferents hem d'agafar 6 mitjons, un més dles colors que tenim i ja està. La idea és forçar que un dels colors s'hagi de repetir. Aquesta és una idea molt profitosa en matemàtiques. S'anomena "Principi de les caixes", en castellà, "Principio del palomar" o d'una manera culta "Principi de Dirichlet". El seu ennunciat, d'una manera un xic barroera seria:

Principi de Dirichlet

Si tenim una col·lecció d'objectes que volem posar tots en caixes però no tenim prou caixes en alguna caixa hi haurem de posar més d'un objecte. Dit més tècnicament, si tenim n objectes i m caixes, i n > m, al posar els objectes a les caixes n'hi haurà una que en tindrà com a mínim dos.

Fixeu-vos que en el cas dels mitjons les caixes serien el nombre de colors, en el primer cas 2 (blanc i negre) i en el darrer 5 (blanc, negre, groc, blau i vermell) mentre que els objectes serien els mitjons. Cal fer notar que el nombre de parells per la resolució del problema és del tot irrellevant.

Deixo la qüestió dels guants per resoldre.

Què passa amb el problema dels cabells?

En aquest cas no tenim cap dada numèrica. Precisament el suggeriment que feia era intentar trobar quines dades serien necessàries per solucionar el problema. Una seria saber quants habitants hi ha a Catalunya. Últimament no deixen de repetir-nos que som 7,5 milions de persones. L'altra hauria d'estar relacionada amb els cabells, no? L'advertiment diu que hi ha una solució trivial i que aquesta no l'accepto. Quina deu ser aquesta solució trivial? No costa gens imaginar-se-la, dues persones completament calves, és a dir, que no tinguin cap cabell al cap, o sigui, zero cabells. Ah! a cada persona li podem associar el nombre de cabells que té al cap. Clar que comptar quants cabells té cada persona al cap seria una cosa molt poc pràctica.

Per resoldre el problema en tindríem prou de saber més o menys quants cabells té com a màxim una persona al cap, no? Si ho busquem en una enciclopèdia o a la xarxa podem trobar la resposta, uns 150.000.

Bé, ja tenim les dues dades, ara podríem actuar de la mateixa manera que hem fet, al principi, amb el problema dels mitjons, suposem que tenim una persona amb 1 cabell, una segona amb 2, una tercera amb 3, ... fins arribar... evidentment com a màxim a una amb 150.000. Com que encara ens queden persones forçosament la persona 150.001 ha de tenir menys cabells i ha de coincidir amb alguna de les anteriors. És a dir, hi haurà dues persones amb el mateix nombre de cabells al cap.

Si tenim clar el principi de Dirichlet podem dir que com que tenim moltes més persones que cabells té una persona al cap, ja que segur que hi haurà dues persones amb el mateix nombre de cabells al cap. De fet podríem assegurar que com a mínim n'hi haurà 50 amb el mateix nombre de cabells.

Ara, podríem utilitzar el principi per resoldre més problemes com els següents:

1.     En un casament 12 persones han de seure al voltant d’una taula rodona on a cada plat hi ha indicat el nom d’una de les 12 persones. Al seure resulta que no hi ha ningú que segui al seu lloc. Demostra que podem girar la taula de forma que com a mínim hi hagi dues persones al seu lloc.

2.     S’han triat setze nombres més petits que 2.500, de forma que cada dos són coprimers, no tenen divisors comuns exceptuant 1. Demostra que com a mínim un dels setze nombres és primer.

3.     L’expressió decimal d’una fracció sempre és, o bé exacta, o bé periòdica. Sabries dir per què?