Problemes diversos

Avui tenim una selecció de problemes sense cap connexió entre ells, però que són interessants per les diferents estratègies que plantegen.

Problema de les rectes

Amb una recta dividim el pla en dues regions, amb dues rectes podem dividir-lo com a màxim en quatre, amb tres rectes el màxim és set i amb quatre onze. Estudia com depèn el nombre màxim de regions del nombre de rectes.

Cercle de Tales

Si sobre una circumferència de diàmetre BC agafem un punt A i l’unim amb els extrems B i C del diàmetre, aleshores l’angle format en A és recte, sigui quin sigui el punt A triat. Com ho pots justificar?

Taulell d'escacs retallat

Donat un taulell d'escacs es pot recobrir amb 32 peces de dòmino de forma que cada dòmino tapi dos quadrats. Si retallem en un taulell d'escacs els quadrats de dos vèrtexs oposats, serà possible ara recobrir les 62 caselles restants amb 31 peces de dòmino?

Solucions a problemes diversos

Problema de les rectes

Cal tenir present que, en la resolució d'aquest problema, el que ens interessa és obtenir el màxim nombre de regions. És evident que si comencem amb dues rectes paral·leles el nombre de regions serà 3, però si es creuen n'obtindrem 4, és a dir, amb dues rectes 3 no és el màxim, sinó 4.

Una bona idea per començar a treballar en el problema i veure alguna cosa pot consistir a fer una taula:

Nombre de rectes                 1          2          3            4

Nombre de regions               2          4          7          11

Això és el que tenim a partir de l'enunciat i podem comprovar-ho en la següent figura:

Si hi afegim una cinquena recta obtenim:

I al comptar el nombre de regions obtingudes ens dona 16. Pólya també recomana moltes vegades, en casos com aquest, de considerar el que anomena casos extrems, és a dir, en el nostre, quan no tenim cap recta que ens dona una regió. Completem la taula anterior amb les dues noves dades obtingudes:

Nombre de rectes                 0          1          2          3            4          5

Nombre de regions               1          2          4          7          11       16

Si ens fixem detingudament en la nova taula, ens podem adonar que hi ha una pauta que regeix el nombre de regions a partir del nombre de rectes. Sembla que el nombre de regions a l'afegir una recta s'obté afegint el nombre de rectes al de regions que teníem: 1+1=2; 2+4=4; 4+3=7; 7+4=11 i 11+5=16. Si aquesta pauta és certa el nombre de regions amb 6 rectes hauria de ser 16+6=22, comprovem-ho!

Comptem les regions que tenim ara i certament són 22. Bé, sembla que la pauta és certa. Ara ens hauríem de plantejar, per què ho és?

Ja hem vist que si volem obtenir el màxim de regions les rectes no han de ser paral·leles les unes a les altres, és a dir, a l'afegir una recta nova ha de tallar a totes les altres i si volem que el nombre de regions sigui màxim tampoc pot passar per algun punt de tall anterior. Per tant, a l'afegir una recta nova aquesta ha de generar tants punts de tall com rectes hi havia, una menys de les que hi ha. En la figura, la recta nova, la blava, talla totes les altres i genera 5 punts nous. En conseqüència, talla 6 regions antigues, les dues no limitades i les quatre que queden entre els 5 punts, i genera 6 regions més. La pauta és certa.

Fixeu-vos que ara tenim una forma recursiva de trobar el nombre de regions:

R(n)=R(n-1)+n

Això està bé, però per trobar el següent valor hem de tenir tots els anteriors. Seria possible trobar una fórmula tancada en funció del nombre n de rectes?

Cercle de Tales

El problema consisteix en demostrar que si unim un punt qualsevol d'una circumferència amb els extrems d'un diàmetre, l'angle que es forma en el punt és recte.

En el dibuix inicial hi ha un element de la circumferència que no hi és representat. Parodiant a Pólya, podríem dir, que es mor de ganes d'entrar en acció, el centre. I un cop posat de manifest aquest, podríem tenir la idea d'unir-lo amb el punt qualsevol de la circumferència. Es tracta d'un radi. La figura ara serà:

Aquest radi, OC, divideix el triangle ABC, en dos triangles, AOC i OBC, com són aquests triangles? Tenen alguna particularitat? Són isòsceles. L'angle en A del triangle és igual al OCA, l'angle B del triangle és igual al BCO, i l'angle C del triangle és la suma d'aquests dos. Com que la suma dels angles d'un triangle és igual a dos angles rectes, l'angle en C, és la meitat, és a dir, un angle recte. Ja ho tenim!

Si fem cas a Pólya, un cop acabat el problema, la quarta fase, podem intentar veure què podem aprofitar del que hem vist fins ara per anar un xic més lluny. En Lluís Bibiloni, va observar que l'angle B del triangle és la meitat de l'angle AOC, ja que, aquest és l'angle extern del triangle COB i per tant, és la suma dels angles oposats del triangle, és a dir, B i C, que són iguals.

A partir d'aquí no és difícil demostrar que un angle inscrit en una circumferència és la meitat de l'angle central que engloba el mateix arc.

Taulell d'escacs retallat

Quan em van plantejar el problema, ja fa molt temps, vaig tenir sort, ja que, d'entrada, se'm va ocórrer de simplificar-lo i considerar el cas d'un taulell de 2x2, i aquí era clar que no s'hi podia posar cap dòmino. Això em va portar a adonar-me que al treure les dues caselles de vèrtexs oposats eren del mateix color, com que un dòmino sempre tapa dues caselles de diferent color en el cas de 8x8 tampoc era possible.

Què passa quan en el taulell es treuen dues caselles de diferent color? Teorema de Gomory. Hi ha diferents situacions particulars, per exemple, si es tracta de les dues caselles dels vèrtexs d'un mateix costat, en els quals és possible. Ho serà sempre? En el llibre Experiencia matemática, de Reuben Hersh i Philip J. Davis a la pàgina 228 es dona una solució no analítica del problema i diuen que no en coneixen cap d'analítica.