Problema del rull.

Els dos problemes que us proposaré avui són dels que he fet servir moltes vegades en les meves classes.

El primer, que podríem anomenar de la corda, és molt conegut:

Agafem una corda, la posem al voltant d'una pilota de bàsquet, ben ajustada al que podria ser el seu equador, i, si en sobre un xic, la tallem. A continuació, a la corda que teníem cenyida a l'equador de la pilota, li afegim un metre de corda i la posem, mentalment vull dir, al voltant de la pilota de basquet com si fos un anell de Saturn. Quedarà una circumferència a una certa distància de la pilota. Ara, també mentalment, posem una corda a l'Equador terrestre ben ajustada i com en el primer cas hi afegim un metre de corda i la tornem a posar al voltant com un anell de Saturn. Com abans quedarà una circumferència a una certa distància de la Terra. Quina de les dues separacions és més gran?

Problema del rull

Quina és la llargada d'un rull de paper higiènic?

Teniu llibertat absoluta de fer tot allò que vulgueu. El que sí que desitjaria és que expliquessiu de la manera més detallada possible el vostre mètode per determinar la llargada. No pretenc que el valor obtingut sigui d'una gran precisió, per dir-ho d'una manera gràfica, no ve d'un pam.

Solucións als problemes

Problema de la corda

La Pili Royo m'ha enviat aquesta solució del problema de la corda:

D'aquest problema, com que ja l'havia fet fa temps, en coneixia el resultat, però m'ha agradat recordar la demostració que la distància demanada no varia en funció del radi de la circumferència de partida:

Direm h a la distància demanada entre les dues circumferències formades.

Si la circumferència que tenim té radi R, la seva longitud serà l = 2*pi*R

La longitud de la nova circumferència, a la qual hi hem afegit “a” serà L = l+a = 2*pi*(R+h)

Llavors, (2*pi*R)+a= 2*pi*(R+h)

D'aquí surt que h = (2*pi*R + a – 2*pi*R)/2*pi

Finalment, h= a/(2*pi)

Com veiem, la distància que ens demanen no depèn del radi de la circumferència de partida. Contra el que ens deia la intuïció.

Tal i com ho ha fet la Pili és la manera acadèmica de fer-ho. Quan ho feia, amb els alumnes o al club, portava una pilota, una moneda d'un euro i cordill i fèiem l'experiment, canviant la Terra per l'euro, i, evidentment donava que la separació era la mateixa.

De fet si tenim clar que la fórmula que lliga la longitud de la circumferència amb el radi, l=2πr, el que diu és que la longitud de la circumferència és directament proporcional al radi, aleshores el problema és redueix a pensar que augments iguals de longitud corresponen augments iguals de radi.

Problema del rull

Diferents solucions que donaven els meus alumnes.

Aquesta era una de les activitats que havien de fer en el que anomenàvem el problema de la quinzena. Cada 15 dies m'havien de presentar per grups de 4 o 5 alumnes la resolució d'una activitat. Normalment m'entregaven uns fulls en els quals explicaven com havien aconseguit resoldre la qüestió proposada.

La primera, sense excessiu esforç, entregaven un foli en el qual havien enganxat el tros de plàstic on s'informava de les característiques del producte en particular de la seva llargada. Tot i que podeu pensar que no era una solució molt treballada, jo l'acceptava tot dient que hi havia hagut l'esforç de buscar on hi havia la informació i que havien hagut d'interpretar les dades que donaven. Aquí hi havia matemàtiques, de baix nivell, però matemàtiques tanmateix.

La segona consistia, amb diferents variants, a comptar els nombre de serveis, que hi havia en un rull i multiplicar per la longitud del servei. Aquesta tenia, evidentment, més contingut matemàtic. Hi havia un procés de comptar, que és molt important en matemàtiques i després aplicar la idea que si tenim un conjunt de coses iguals per saber la suma total el que fem és una multiplicació.

La tercera era la mesura del rull. Em posaven fotos de com havien estès tot el rull en un passadís i després el mesuraven amb un metre. Per mi això era molt valuós, ja que posava de forma molt clara què era el procés de mesurar, agafar una unitat i comptar quantes vegades la unitat hi estava continguda. Matemàtiques un xic més elaborades.

Passem ara a maneres de fer-ho un xic més sofisticades, és a dir, sense necessitat d'haver de desenrotllar el rull. La majoria dels alumnes no esmentaven, com sí que fa la Pili en la seva resolució, que de fet, el rull és una espiral, simplificant de forma directa que era un conjunt de cirumferències concèntriques. Més o menys totes eren variants del que fa la Pli Royo que us poso a continuació.

El paper del rull forma una espiral. Però em resulta complicat buscar una solució a partir d’aquesta espiral. Com que el resultat pot ser aproximat, intentaré aproximar-me d’alguna manera més fàcil. Imagino que que el rull el formen cercles concèntrics de paper.

De què dependrà la longitud total del rull? Del gruix del rull (G), del gruix del paper (g), del nombre de capes (l’anomenaré n) i de la longitud de cada capa, la qual dependrà del radi del cercle corresponent.

Suposo que, davant del rull de paper, el més immediat és trobar el radi del cilindre interior (r) i el gruix del rull (G), així que intentaré trobar la longitud total en funció d’aquests valors.

Podem calcular el nombre de capes n=G/g. Per altra part, podem dir que G=R-r, però de moment ho deixo així.

La longitud de cada capa serà: 1a capa: 2*pi*r ; 2a capa: 2*pi*(r+g); 3a capa: 2*pi*(r+2g)... última capa: 2*pi*[r+(n-1) g]

La longitud total serà el sumatori de les capes
L= 2*pi*{r+(r+g)+...+ r+(n-1)g}.
Ara observo que el tercer factor és una progressió aritmètica de n termes i d=g.
Llavors, aplico la fórmula de la suma de termes d’una P.A i obtenim (r+r+(n-1)g)*n/2 = (2r+(n-1)g)*n/2. Per tant, L= 2*pi* (2r+(n-1)g)*n/2 = pi* (2r+(n-1)g)*n.
Ara substitueixo n per (G/g):
L= pi* (2r+(G/g-1)g)*G/g = pi* G*(2r+G-g)/g.
Ara vull comprovar si el resultat és correcte. Però m’atrau més comprovar si “pot ser” correcte.

Miro un paquet de paper higiènic que tinc a casa. Diu que 1 rull fa 40 metres. Puc mesurar el gruix del rull i el radi del cilindre interior... El que no veig indicat enlloc és el gruix del papel!!! Diu que té doble capa, però no diu el gruix!!! Val, busco en google si trobo alguna aproximació... Em costa trobar aquesta informació... Al final trobo una aproximació de 0,2 mm. Aplico la fórmula i obtinc pi*34mm*(2*20+34- 0,2)/02=3,39m... En principi ho dono per vàlid).

En acabar, el que penso és que, aplicat a la vida real, el problema no és trobar la longitud del rull, sinó el gruix del paper :-D

Bé, he dit que eren variants però no és exacta. Alguns el que feien era dir que, si consideràvem la circumferència del mig del rull, totes les altres es compensaven una de superior amb una d'inferior a la mateixa distància i que, per tant, la longitud total era la del mig multiplicada pel nombre de circunferències. Per trobar el nombre de circumferències, agafaven un plec de paper que fes un milímetre de gruix i comptaven quants fulls hi havia. La resta és fàcil de seguir.

Una de les més originals, que em va deixar molt parat, va ser la d'una noia, que em va dir: Considerem el rull, fem un tall longitudinal al rull i despleguem totes les porcions que hem obtingut. Si ens el mirem de perfil el que veurem és un trapezi. Ara si tracem la paral·lela mitja del trapezi i per aquesta tallem la part de sota i la posem capiculada a la part superior. Així obtenim que totes les capes siguin iguals. Ara només hem de comptar quantes en tenim, cosa que ja hem fet en altres a apartats. Genial! En la figura podeu veure el procés.

Espero no haver-vos avorrit excessivament.