Els dos problemes que us proposaré avui són
dels que he fet servir moltes vegades en les meves classes.
El primer, que podríem anomenar de la
corda, és molt conegut:
Agafem una corda, la posem al voltant d'una
pilota de bàsquet, ben ajustada al que podria ser el seu equador, i, si en
sobre un xic, la tallem. A continuació, a la corda que teníem cenyida a l'equador
de la pilota, li afegim un metre de corda i la posem, mentalment vull dir, al
voltant de la pilota de basquet com si fos un anell de Saturn. Quedarà una
circumferència a una certa distància de la pilota. Ara, també mentalment, posem
una corda a l'Equador terrestre ben ajustada i com en el primer cas hi afegim
un metre de corda i la tornem a posar al voltant com un anell de Saturn. Com
abans quedarà una circumferència a una certa distància de la Terra. Quina de
les dues separacions és més gran?
Problema del rull
Quina és la llargada d'un rull de paper
higiènic?
Teniu llibertat absoluta de fer tot allò
que vulgueu. El que sí que desitjaria és que expliquessiu de la manera més
detallada possible el vostre mètode per determinar la llargada. No pretenc que
el valor obtingut sigui d'una gran precisió, per dir-ho d'una manera gràfica,
no ve d'un pam.
Solucións
als problemes
Problema
de la corda
La Pili Royo m'ha enviat aquesta solució
del problema de la corda:
D'aquest
problema, com que ja l'havia fet fa temps, en coneixia el resultat, però m'ha
agradat recordar la demostració que la distància demanada no varia en funció
del radi de la circumferència de partida:
Direm
h a la distància demanada entre les dues circumferències formades.
Si
la circumferència que tenim té radi R, la seva longitud serà l = 2*pi*R
La
longitud de la nova circumferència, a la qual hi hem afegit “a” serà L = l+a =
2*pi*(R+h)
Llavors,
(2*pi*R)+a= 2*pi*(R+h)
D'aquí
surt que h = (2*pi*R + a – 2*pi*R)/2*pi
Finalment,
h= a/(2*pi)
Com
veiem, la distància que ens demanen no depèn del radi de la circumferència de
partida. Contra el que ens deia la intuïció.
Tal i com ho ha
fet la Pili és la manera acadèmica de fer-ho. Quan ho feia, amb els alumnes o
al club, portava una pilota, una moneda d'un euro i cordill i fèiem
l'experiment, canviant la Terra per l'euro, i, evidentment donava que la
separació era la mateixa.
De fet si tenim
clar que la fórmula que lliga la longitud de la circumferència amb el radi,
l=2πr, el que diu és que la longitud de la circumferència és directament proporcional
al radi, aleshores el problema és redueix a pensar que augments iguals de
longitud corresponen augments iguals de radi.
Problema del rull
Diferents
solucions que donaven els meus alumnes.
Aquesta era una de
les activitats que havien de fer en el que anomenàvem el problema de la
quinzena. Cada 15 dies m'havien de presentar per grups de 4 o 5 alumnes la
resolució d'una activitat. Normalment m'entregaven uns fulls en els quals
explicaven com havien aconseguit resoldre la qüestió proposada.
La primera, sense
excessiu esforç, entregaven un foli en el qual havien enganxat el tros de
plàstic on s'informava de les característiques del producte en particular de la
seva llargada. Tot i que podeu pensar que no era una solució molt treballada,
jo l'acceptava tot dient que hi havia hagut l'esforç de buscar on hi havia la
informació i que havien hagut d'interpretar les dades que donaven. Aquí hi
havia matemàtiques, de baix nivell, però matemàtiques tanmateix.
La segona
consistia, amb diferents variants, a comptar els nombre de serveis, que hi
havia en un rull i multiplicar per la longitud del servei. Aquesta tenia,
evidentment, més contingut matemàtic. Hi havia un procés de comptar, que és
molt important en matemàtiques i després aplicar la idea que si tenim un
conjunt de coses iguals per saber la suma total el que fem és una
multiplicació.
La tercera era la
mesura del rull. Em posaven fotos de com havien estès tot el rull en un
passadís i després el mesuraven amb un metre. Per mi això era molt valuós, ja
que posava de forma molt clara què era el procés de mesurar, agafar una unitat
i comptar quantes vegades la unitat hi estava continguda. Matemàtiques un xic
més elaborades.
Passem ara a
maneres de fer-ho un xic més sofisticades, és a dir, sense necessitat d'haver
de desenrotllar el rull. La majoria dels alumnes no esmentaven, com sí que fa
la Pili en la seva resolució, que de fet, el rull és una espiral, simplificant
de forma directa que era un conjunt de cirumferències concèntriques. Més o
menys totes eren variants del que fa la Pli Royo que us poso a continuació.
El paper del rull forma una espiral. Però
em resulta complicat buscar una solució a partir d’aquesta espiral. Com que el
resultat pot ser aproximat, intentaré aproximar-me d’alguna manera més fàcil.
Imagino que que el rull el formen cercles concèntrics de paper.
De què dependrà la longitud total del
rull? Del gruix del rull (G), del gruix del paper (g), del nombre de capes
(l’anomenaré n) i de la longitud de cada capa, la qual dependrà del radi del
cercle corresponent.
Suposo que, davant del rull de paper, el
més immediat és trobar el radi del cilindre interior (r) i el gruix del rull
(G), així que intentaré trobar la longitud total en funció
d’aquests valors.
Podem calcular el nombre de capes n=G/g.
Per altra part, podem dir que G=R-r, però de moment ho deixo així.
La longitud de cada capa serà: 1a capa:
2*pi*r ; 2a capa: 2*pi*(r+g); 3a capa: 2*pi*(r+2g)... última capa:
2*pi*[r+(n-1) g]
La longitud total serà el sumatori de les
capes
L= 2*pi*{r+(r+g)+...+ r+(n-1)g}.
Ara observo que el tercer factor és una
progressió aritmètica de n termes i d=g.
Llavors, aplico la fórmula de la suma
de termes d’una P.A i obtenim (r+r+(n-1)g)*n/2 = (2r+(n-1)g)*n/2. Per tant, L=
2*pi* (2r+(n-1)g)*n/2 = pi* (2r+(n-1)g)*n.
Ara substitueixo n per (G/g):
L= pi*
(2r+(G/g-1)g)*G/g = pi* G*(2r+G-g)/g.
Ara vull comprovar si el resultat
és correcte. Però m’atrau més comprovar si “pot ser” correcte.
Miro un paquet de paper higiènic que tinc
a casa. Diu que 1 rull fa 40 metres. Puc mesurar el gruix del rull i el radi
del cilindre interior... El que no veig indicat enlloc és el gruix del papel!!!
Diu que té doble capa, però no diu el gruix!!! Val, busco en google si trobo alguna
aproximació... Em costa trobar aquesta informació... Al final trobo una
aproximació de 0,2 mm. Aplico la fórmula i obtinc pi*34mm*(2*20+34-
0,2)/02=3,39m... En principi ho dono per vàlid).
En acabar, el que penso és que, aplicat a
la vida real, el problema no és trobar la longitud del rull, sinó el gruix del
paper :-D
Bé, he dit que eren variants però no és exacta. Alguns el que feien era
dir que, si consideràvem la circumferència del mig del rull, totes les altres
es compensaven una de superior amb una d'inferior a la mateixa distància i que,
per tant, la longitud total era la del mig multiplicada pel nombre de
circunferències. Per trobar el nombre de circumferències, agafaven un plec de
paper que fes un milímetre de gruix i comptaven quants fulls hi havia. La resta
és fàcil de seguir.
Una de les més originals, que em va deixar molt parat, va ser la d'una
noia, que em va dir: Considerem el rull, fem un tall longitudinal al rull i
despleguem totes les porcions que hem obtingut. Si ens el mirem de perfil el
que veurem és un trapezi. Ara si tracem la paral·lela mitja del trapezi i per
aquesta tallem la part de sota i la posem capiculada a la part superior. Així
obtenim que totes les capes siguin iguals. Ara només hem de comptar quantes en
tenim, cosa que ja hem fet en altres a apartats. Genial! En la figura podeu
veure el procés.
Espero no haver-vos avorrit excessivament.
El del rull no el vam fer a magisteri nosaltres, però te l'he vist fer després i tot el que en surt és impressionant. Em va cridar molt l'atenció. I és un bon problema per fer aquests dies, amb tants de rulls de paper per casa... Tot el que pot sortir a classe sorpren. O a mi em va sorprendre! Potser no tant com el del cinturó a la terra, clar. Aquest si que el vam fer a magisteri.
ResponEliminaEl problema del rull, he de suposar q depèn del radi del rull, del radi del cartró i de l'espessor del paper. Si no cal ser molt precis, agafant el valor mig d' una volta com la semidiferència de radis i tenit en compte que la diferència de radis es el nombre de voltes per l' espesor, la longitud no resulta difícil de trobar.
ResponEliminaLluís, no acabo de veure què vols dir amb el valor mig d'una volta... Et refereixes al valor mig de la longitud del paper en una volta? En aquest cas, per què ha de ser (R-r)/2? És (R-r) és gruix del rull?
ResponEliminaSi, em referia al valor mig del radi, d' una volta de paper.
EliminaEl problema de la corda em sembla preciós. Recordo que l'Abraham Arcavi el va utilitzar a la seva conferència a les JAEM de Girona. També està recollit en una videoconferència que va fer al CREAMAT. Val la pena pensar-hi i arribar al resultat :-) (Pili)
ResponElimina