Avui tres qüestions sobre divisibilitat
La
biblioteca de la Nina
La Nina té una gran biblioteca. Ha observat
que a l'ordenar els seus llibres de 2 en 2, en sobre 1. Si els ordena de 3 en
3, també en sobre 1. El mateix passa quan els ordena en grups de 4, 5, 6, 7, 8,
9 i 10. Sabries dir quants llibres té la Nina?
Quants
nombres primers hi ha?
Sembla que el conjunt dels nombres primers
és infinit. Sabries justificar-ho?
La
gran toca el piano
Dos matemàtics, en Joan i en Jordi, van
xerrant mentre passegen sobre les seves respectives famílies. En Joan diu, "el
producte de les edats de les meves tres filles és 36, i la suma, el número de
la casa on vius." En Jordi després de pensar una estona respon, "em
falta una dada." En Joan exclama, "tens tota la raó, la gran toca el
piano."
Solucions a tres problemes de divisibilitat
La
biblioteca de la Nina.
Quan resolia aquest problema elemental amb
els alumnes de magisteri el primer que els suggeria era que simplifiquessin.
Què passaria si la Nina tot just ordenés els llibres de 2 en 2? La resposta era
que amb 3 llibres ja faríem. I si els ordenés de 2 en 2 i de 3 en 3? Alguns ho
resolien provant amb 4, 5, 6 i 7 i trobaven la resposta, 7. D'altres deien fem
2x3 i li sumem 1, ja que el nombre que busquem ha de ser una unitat més gran
que un múltiple de 2 i de 3, 2x3+1=7. A partir d'aquí, la majoria d'alumnes
veien que una solució seria fer el producte de tots els nombres, és a dir,
2x3x4x...x9x10=6328800 i sumar-hi 1.
Evidentment, la meva intenció era que
veiessin que hi havia altres possibles solucions i anar a parar al mínim comú
múltiple. Els feia notar que aquest nombre era molt gran i que qualsevol
múltiple del producte més 1 també seria una solució.
Tornàvem a simplificar veient què passava
si ordenàvem de 2 en 2, de 3 en 3 i de 4 en 4. Si fèiem el producte obtindríem
25, però si anàvem provant amb 5, 6, 7, ... trobaríem que 13, també era una
solució. I d'aquí els feia veure que si el nombre era múltiple de 4, també ho
era de 2. Per tant, podíem rebaixar el nombre i entrar en el concepte de mcm, i trobar la solució mínima 2521.
Una petita anècdota. Una vegada, fent el
problema amb nanos de 6è, un cop acabat el problema i convençuts la majoria que
havíem trobat la solució mínima, em vaig trobar que un alumne, que no era
precisament gaire espavilat, es va posar tossut que en tenia una que verificava
totes les condicions i era més petita. Li vaig dir que em digués el resultat.
Em va contestar, 1. Vaig quedar parat. Tota la vida fent el problema, capficat
en introduir el mcm i no veient la
solució trivial. Un desastre!
La
infinitud del nombres primers
El problema anterior suggereix una idea per
poder justificar que hi ha infinits nombres primers. De fet aquesta demostració
la feia ja Eucldes en els seus Elements,
l'any 300 aC.
Per veure que hi ha infinits nombres
primers, n'hi ha prou amb suposar que si en tenim uns quants, no els tenim
tots, és a dir, que en podem trobar més.
Per exemple, si només tinguéssim el 2, el
2+1=3 donaria un altre. Si tenim el 2 i el 3, evidentment podríem trobar el 5,
però pel que ens interessa és millor fer 2x3+1=7. És el truc que hem fet servir
en el problema anterior. El podem utilitzar repetidament:
Amb 2, 3 i 5 dona 2x3x5+1=31, és primer.
Amb 2, 3, 5 i 7 dona 2x3x5x7+1=211, és
primer.
Amb 2, 3, 5, 7 i 11 dona 2x3x5x7x11+1=2311,
és primer. Ho haurieu de comprovar.
Amb 2, 3, 5, 7, 11 i 13 dona,
2x3x5x7x11x13+1=30031=59x509, no és primer.
Això no ens ha de desanimar, perquè tot i
que el resultat no és un nombre primer, 59 i 509 sí que ho són i per tant en
aquest cas també trobem altres primers.
El raonament per hi ha infinits primers,
seria: Suposem que tenim uns quants nombres primers, p1, p2,
p3, .... , pn. Considerem M= p1,xp2xp3x
.... xpn+1. Ara poden passar dues coses, o bé M és primer, i per
tant, tenim més primers, o bé, M no és primer, però aleshores M ha de tenir una
descomposició en primers i aquests no poden ser cap dels p1, p2,
p3, .... , pn, ja que aquests no divideixen a M, mentre
que els de la descomposició sí, per tant també ara tenim més primers.
Una petita variant d'aquest raonament
permet demostrar que podem trobar seqüències tan llargues com vulguem de
nombres consecutius que cap d'ells és un nombre primer.
La
gran toca el piano
Aquest problema més que de divisibilitat
és, com veurem, de lògica. Suposo que la majoria de gent ja el coneix perquè em
sembla que els professors de matemàtiques l'hem utilitzat abastament.
A partir de la dada del producte de les
edats, 36, hem de veure quines possibilitats tenim. Una cosa molt important és
fer-ho de manera ordenada per no deixar-nos cap possibilitat:
36=1x1x36
36=1x2x18
36=1x3x12
36=1x4x9
36=1x6x6
36=2x2x9
36=2x3x6
36=3x3x4
En total en tenim 8. I no sabem quina
triar, però ara hem d'utilizar la segona pista que és el número de la casa de
l'amic que nosaltres no sabem però ell sí:
36=1x1x36 1+1+36=38
36=1x2x18 1+2+18=21
36=1x3x12 1+3+12=15
36=1x4x9 1+4+9=14
36=1x6x6 1+6+6=13
36=2x2x9 2+2+9=13
36=2x3x6 2+3+6=11
36=3x3x4 3+3+4=10
Amb els resultats de les sumes veiem que si
l'amic viu, per exemple, al 15, no té cap dubte a saber que es edats són 1, 3 i
12. L'únic cas en què pot tenir dubtes és si viu al 13, perquè aquí tenim dues
possibilitats 1, 6, 6 i 2, 2, 9. En els dos casos tenim bessones, en el primer
hi ha dues grans i en el segon dues petites. La dada de la gran toca el piano
ens permet decidir que la resposta correcta és 2, 2 i 9.
A vegades hi ha gent que no pot resoldre el
problema ja que elimina prematurament la possibilitat 1, 6 ,6 perquè no hi ha
gran. Però aquesta possibilitat no es pot eliminar abans de fer la suma, perquè
la dada de la gran toca el piano és posterior a demanda de l'amic que sí que coneix
la suma.
Fixeu-vos que la dada final també podria
ser la petita encara va de quatre grapes i aleshores la solució seria 1, 6, 6.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada
Gràcies pel teu comentari