Avui tenim una selecció de problemes sense
cap connexió entre ells, però que són interessants per les diferents
estratègies que plantegen.
Problema
de les rectes
Amb una recta dividim el pla en dues
regions, amb dues rectes podem dividir-lo com a màxim en quatre, amb tres
rectes el màxim és set i amb quatre onze. Estudia com depèn el nombre màxim de
regions del nombre de rectes.
Cercle
de Tales
Si sobre una circumferència de diàmetre BC
agafem un punt A i l’unim amb els extrems B i C del diàmetre, aleshores l’angle
format en A és recte, sigui quin sigui el punt A triat. Com ho pots justificar?
Taulell
d'escacs retallat
Donat un taulell d'escacs es pot recobrir
amb 32 peces de dòmino de forma que cada dòmino tapi dos quadrats. Si retallem
en un taulell d'escacs els quadrats de dos vèrtexs oposats, serà possible ara
recobrir les 62 caselles restants amb 31 peces de dòmino?
Solucions
a problemes diversos
Problema
de les rectes
Cal tenir present que, en la resolució
d'aquest problema, el que ens interessa és obtenir el màxim nombre de regions.
És evident que si comencem amb dues rectes paral·leles el nombre de regions
serà 3, però si es creuen n'obtindrem 4, és a dir, amb dues rectes 3 no és el
màxim, sinó 4.
Una bona idea per començar a treballar en el
problema i veure alguna cosa pot consistir a fer una taula:
Nombre de rectes 1 2 3 4
Nombre de regions 2 4 7 11
Això és el que tenim a partir de l'enunciat
i podem comprovar-ho en la següent figura:
Si hi afegim una cinquena recta obtenim:
I al comptar el nombre de regions
obtingudes ens dona 16. Pólya també recomana moltes vegades, en casos com
aquest, de considerar el que anomena casos extrems, és a dir, en el nostre,
quan no tenim cap recta que ens dona una regió. Completem la taula anterior amb
les dues noves dades obtingudes:
Nombre de rectes 0 1 2 3
4 5
Nombre de regions 1 2 4 7 11 16
Si ens fixem detingudament en la nova taula,
ens podem adonar que hi ha una pauta que regeix el nombre de regions a partir del
nombre de rectes. Sembla que el nombre de regions a l'afegir una recta s'obté
afegint el nombre de rectes al de regions que teníem: 1+1=2; 2+4=4; 4+3=7;
7+4=11 i 11+5=16. Si aquesta pauta és certa el nombre de regions amb 6 rectes
hauria de ser 16+6=22, comprovem-ho!
Comptem les regions que tenim ara i
certament són 22. Bé, sembla que la pauta és certa. Ara ens hauríem de plantejar,
per què ho és?
Ja hem vist que si volem obtenir el màxim
de regions les rectes no han de ser paral·leles les unes a les altres, és a
dir, a l'afegir una recta nova ha de tallar a totes les altres i si volem que
el nombre de regions sigui màxim tampoc pot passar per algun punt de tall
anterior. Per tant, a l'afegir una recta nova aquesta ha de generar tants punts
de tall com rectes hi havia, una menys de les que hi ha. En la figura, la recta
nova, la blava, talla totes les altres i genera 5 punts nous. En conseqüència,
talla 6 regions antigues, les dues no limitades i les quatre que queden entre
els 5 punts, i genera 6 regions més. La pauta és certa.
Fixeu-vos que ara tenim una forma recursiva
de trobar el nombre de regions:
R(n)=R(n-1)+n
Això està bé, però per trobar el següent
valor hem de tenir tots els anteriors. Seria possible trobar una fórmula
tancada en funció del nombre n de rectes?
Cercle
de Tales
El problema consisteix en demostrar que si
unim un punt qualsevol d'una circumferència amb els extrems d'un diàmetre,
l'angle que es forma en el punt és recte.
En el dibuix inicial hi ha un element de la
circumferència que no hi és representat. Parodiant a Pólya, podríem dir, que es
mor de ganes d'entrar en acció, el centre. I un cop posat de manifest aquest,
podríem tenir la idea d'unir-lo amb el punt qualsevol de la circumferència. Es
tracta d'un radi. La figura ara serà:
Aquest radi, OC, divideix el triangle ABC,
en dos triangles, AOC i OBC, com són aquests triangles? Tenen alguna
particularitat? Són isòsceles. L'angle en A del triangle és igual al OCA,
l'angle B del triangle és igual al BCO, i l'angle C del triangle és la suma
d'aquests dos. Com que la suma dels angles d'un triangle és igual a dos angles
rectes, l'angle en C, és la meitat, és a dir, un angle recte. Ja ho tenim!
Si fem cas a Pólya, un cop acabat el
problema, la quarta fase, podem intentar veure què podem aprofitar del que hem
vist fins ara per anar un xic més lluny. En Lluís Bibiloni, va observar que
l'angle B del triangle és la meitat de l'angle AOC, ja que, aquest és l'angle
extern del triangle COB i per tant, és la suma dels angles oposats del
triangle, és a dir, B i C, que són iguals.
A partir d'aquí no és difícil demostrar que
un angle inscrit en una circumferència és la meitat de l'angle central que engloba
el mateix arc.
Taulell
d'escacs retallat
Quan em van plantejar el problema, ja fa
molt temps, vaig tenir sort, ja que, d'entrada, se'm va ocórrer de
simplificar-lo i considerar el cas d'un taulell de 2x2, i aquí era clar que no s'hi
podia posar cap dòmino. Això em va portar a adonar-me que al treure les dues
caselles de vèrtexs oposats eren del mateix color, com que un dòmino sempre
tapa dues caselles de diferent color en el cas de 8x8 tampoc era possible.
Què passa quan en el taulell es treuen dues
caselles de diferent color? Teorema de Gomory. Hi ha diferents situacions particulars,
per exemple, si es tracta de les dues caselles dels vèrtexs d'un mateix costat,
en els quals és possible. Ho serà sempre? En el llibre Experiencia matemática, de Reuben Hersh i Philip J. Davis a la
pàgina 228 es dona una solució no analítica del problema i diuen que no en
coneixen cap d'analítica.
Del problema de les rectes, dir q val la pena completar-lo, buscant la quantitat de divisions de la recta per punts, i la quantitat de divisions de l'espai per plans. Els resultats, com ens vas explicar, son molt coherents.
ResponEliminaI amb els termes ordenats de la successió podem trobar les diferències, i les segones diferències (amb aquetes ja obtenim els mateixos resultats, el que ens indica que l'expressió serà de 2n grau)... i ara provar fins trobar l'expressió :-)
ResponEliminaPer al problema del triangle, és més fàcil per simetria! Només cal allargar el radi: desde C fins O i continuar fins que talli la circumferència a per la part de baix. Si unim el punt de tall, D, amb A i amb B, veurem un rectangle immediatament. Ho ha de ser per simetria. Per tant, tots els angles són rectes.
ResponElimina