Tres problemes d'àrees

Bon dia!

Avui us proposo tres problemes sobre relacions entre àrees de diferents figures

Primer problema

Donat un hexàgon regular des d’un vèrtex es tracen les tres diagonals possibles. L’hexàgon queda així dividit en 4 triangles dos a dos iguals. Quina raó hi ha entre les àrees dels dos triangles diferents.

Segon problema

En el rectangle ABCD s’ha traçat la diagonal AC i el vèrtex B s’ha unit amb E que és el punt mig del costat AD. Anomenem O la intersecció del segment BE amb la diagonal AC. Si l’àrea del triangle AOE és d’1 cm² què val l’àrea del rectangle?

Tercer problema
Demostra que l’àrea d’un dodecàgon regular és igual a tres vegades l’àrea del quadrat de costat  el radi de la circumferència circumscrita al dodecàgon.

Solucions a tres problemes d'àrees

Bon dia!

Avui només tinc solucions d'en Lluís, són aquestes:

Totes estan bé. Tot just fer notar, que en la solució del tercer, parla d'octàgon quan vol dir dodecàgon i no acaba de donar explicacions de per què els triangles són com ell diu.

Una forma alternativa a la resolució del primer que dona en Lluís, podria ser, fer veure que si dels triangles BAC i CAD, en la seva figura, agafem BC com a base del primer i AD com base del segon, la del primer és la meitat de la del segon, a més tots dos tenen la mateixa altura, per tant, l'àrea del segon serà el doble de la del primer.

Pel que fa a la del segon una forma alternativa seria, traçar les perpendiculars als costats del rectangle per E i per O. Tal com es pot veure a la figura:

Aleshores aquí ens queda format un rectangle que és el doble en àrea del triangle. L'altura del rectangle al costat AE és la meitat de la del triangle de base BC, són homotètics de raó 2. Per tant, en tot el rectangle hi caben sis rectangles com el que hem trobat i en conseqüència l'àrea del rectangle és 12 vegades la del triangle AOE, és a dir, 12 cm.

Pel que fa al tercer jo ho faria més com un trencaclosques. En la següent figura podeu veure que els tres triangles del dodecàgon no continguts en els quadrats les he dividit tal com proposa en Lluís i els he recol·locat un dins de cada un dels quadrats de forma que acabessin omplint-los.

Ara s'hauria de justificar que les peces encaixin. Els angles dels dotze triangles iguals que formen el dodecàgon són 30⁰, 75⁰ i 75⁰. Al posar el triangle equilàter a la base petita els angles que ens queden per fora seran 75⁰-60⁰ = 15⁰ i al dividir per la meitat l'angle oposat de 30⁰, ens en queden dos de 15⁰. Per tant, realment els triangles externs són isòsceles, amb dos costats iguals als del dodecàgon i l'altre igual al del radi de la circumferència circumscrita. Ara hem de veure que les peces encaixen dins el quadrat. A l'angle de 90⁰, en posem dos de 15⁰ i un de 60⁰, correcte. En els altres dos en posem un angle de 60⁰ de l'equilàter, un de 150⁰ del dodegàgon regular i un de 150⁰ del triangle isòsceles. Perfecte!