Problema a partir de les solucions del problema del marc

Bon dia!

No sé vosaltres, però vaig quedar amb una certa inquietud quan vaig rebre la solució algèbrica que va donar en Lluís al problema de marc, tant diferent a la meva construcció.

Això m'ha portat a intentar veure l'equivalència entre les dues solucions. Després de donar-hi moltes voltes ho he aconseguit i aquest és el problema que us proposo: justificar que les dues solucions són la mateixa. No és fàcil, però crec que pot ser instructiu.

Us donaré algunes pistes:

Primera:

En la meva aproximació he utilitzat el que s'anomena teorema de l'anlge bisector: Donat un triangle ABC qualsevol la bisectriu d'un dels angles, per exemple A, divideix el costat oposat en dues parts proporcionals als costats.

És a dir, a la figura, la bisectriu de l'angle A, determina el punt N i aleshores resulta que BN/NC=AB/AC.

Per poder demostrar això millor que us doni un cop de mà. Feu la paral·lela a la bisectriu pel vèrtex B, i prolongueu el costat AC fins a tallar aquesta paral·lela en el punt P, com es veu a la següent figura.

Segona

Per fer més fàcils els càlculs us aconsello utilitzar la part superior esquerra de l'inici de la meva construcció, és a dir aquesta figura:

Si ara hi afegiu les bisectrius de la meva solució geomètrica, tindreu la següent figura:

Ara passant aquí amb eixos adequats a les equacions de les rectes i resolent el sistema s'obté un resultat que no sembla el d'en Lluís però es pot veure que sí.

Solució al problema a partir de les solucions del problema del marc.

Bon dia!

Avui només tenim solucions d'en Lluís, són aquestes:

Com podeu veure en el primer full repeteix la solució que va donar al problema del marc. En el segon, no veu com pot utilitzar el teorema de l'angle bisector i utilitzant la relació de la tangent de l'angle meitat és capaç de veure l'equivalència entre les dues solucions. En el tercer troba una curiosa relació entre la diagonal i els costats del rectangle interior.

A continuació dono la meva resposta a l'equivalència de les dues solucions:

Primer donaré solució al teorema de l'angle bisector. A la figura que vaig donar com a pista per donar solució:

podem veure que el triangle PBA que se'ns ha format és isòsceles, ja que l'angle a P és igual NAC per angles corresponents entre paral·leles i l'angle a B és igual al BAN per altern-interns entre paral·leles. Com que AN és la bisectriu de l'angle A, aleshores els angles BAN i NAC són iguals i, per tant, els angles P i B del triangle PBA també ho són. És a dir, PA és igual a AB. Ara tenim que PA/BN=AB/BN=AC/NC tal com desitjàvem, per Tales.

Tornem al problema del marc. Vaig donar com a pista la següent figura, a la qual he afegit un xic de nomenclatura, a pel costat vertical del rectangle, b pel costat horitzontal, d per la diagonal i t com el segment que determina la bisectriu entre la diagonal i el costat vertical sobre el segment superior a la part esquerra.

Ara si triem el vèrtex inferior esquerre com a origen de coordenades, tenim que l'equació de la bisectriu de l'angle recte superior esquerre serà y=a-x.

Ara podem aplicar a l'altra bisectriu el teorema de l'angle bisector pel triangle ACD, de la següent figura de forma un xic diferent a com ho hem fet abans.

Aquí, com abans, el triangle PAD és isòsceles i per Tales tenim que t/PA=t/a=b/(a+d)=b/(PA+d).  D'on tenim que t=ab/(a+d) i obtenim que el pendent de la bisectriu és a/t=a/ab/(a+d)=(a+d)/b. Per tant l'equació d'aquesta bisectriu és y=[(a+d)/b]x. Ara hem de trobar la intersecció de les dues bisectrius. Resolem el sistema: a-x=[(a+d)/b]x, si multipliquem per b a les dues bandes obtenim ab-xb=ax+dx, que podem posar (a+b+d)x=ab i obtenim que x=ab/(a+b+d).

Esperava trobar la solució d'en Lluís i això no sembla pas que ho sigui.

La d'en Lluís era x=(a+b-d)/2, heu de tenir en compte que a, b i d són la meitat que els costats i la diagonal del rectangle original. No sabia com donar explicació a tot això. Tot d'una ho he vist clar.

Si faig el producte (a+b+d)(a+b-d)/2=[(a+b)²-d²]/2=(a²+b²+2ab-a₂-b²)/2=ab. Heu de tenir en compte que la diagonal és √ a²+b². En definitiva, les dues solucions són equivalents.