Problemes sobre un billar rectangular

Bon dia!

Avui un problema de billar que si ho desitgeu podeu anar estirant i trobar generalitzacions que us poden portar a descobrir un teorema.

El problema, inicialment, el podem enunciar de la següent forma:

Tenim un billar rectangular de costats 3 m i 2 m. Una bola es llança des del punt M, situat en un dels costats llargs, i rebota en els altres costats com es veu a la figura. A quina distància del punt A tocarà el costat inicial, si BM = 1,2 m i BN = 0,8 m?

Suposo que no tindreu cap dificultat per trobar la solució. Aleshores, si la resposta us ha cridat l'atenció, us podríeu plantejar què passa si BM = 0,9 i BN = 0,6 o si BM = 1,5 i BN = 1?

Quines conclusions en podeu treure? Seríeu capaços d'enunciar un teorema i de demostrar-lo?

Ara, podríem intentar anar un xic més enllà.

Què passa si BM = 1,2 i BN = 0,9? I si BM = 0,8 i BN = 0,6? I si BM = 1 i BN = 0,5?

Ja em direu què heu anat descobrint.

Solucions a problemes sobre un billar rectangular

Bon dia!

Tot just he rebut solucions d'en LLuís, són aquestes:

Les solucions són correctes però no va més enllà de trobar-les, ni es qüestiona quê hi pot haver en les seves troballes. En el segon full fa una cosa en la qual no havia pensat: considerar que si es tractés d'un billar americà, és a dir, amb forats a cada vèrtex, quina hauria de ser la inclinació per tal que la bola sortís per un forat determinat.

Aquest problema l'havia plantejat al club de matemàtiques de la biblioteca de Palafrugell pel 20 d'abril. Per culpa del Covid-19 no la vam poder fer. Ara he aprofitat el problema en aquesta activitat de probscovid.

Aquesta és l'escrit que havia preparat per parlar de la resolució del problema.

La resolució inicial que vaig donar al problema era fàcil, com que BN=0,8, aleshores NC=1,2. Si anomenem P i Q al segon i tercer rebot, aleshores CP=1,2*3/2=1,8; això feia que PD=1,2, DQ=1,2*2/3=0,8; és a dir, QA=1,2 i finalment el quart rebot sobre el cosat AB, tindria una longitud de 1,2*3/2=1,8. Vaja! Precisament el punt M. Curiós. És a dir, la trajectòria de la bola era tancada i suposant que no hi hagués fregament i els rebots fossin elàstics la bola aniria descrivint sense parar sempre el mateix quadrilàter, o millor dit paral·lelogram.

A continuació vaig pensar què passaria si MB=0,9 i BN=0,6? No és necessari fer cap càlcul per veure que el quart rebot tornaria a ser a M, perquè com que els triangles que es formarien tindrien la mateixa raó que els anteriors els càlculs serien els mateixos però amb nombres diferents. Ah! I a més a més, la raó era la mateixa que la dels costats del rectangle i per tant els costats dels paral·lelograms eren paral·lels a les dues diagonals del rectangle. Caram! Així agafem el punt que agafem de la base AB si el tir que fem és paral·lel a una de les diagonals aleshores la trajectòria serà un paral·lelogram, o sigui que per cada punt tindrem un paral·lelogram. A més tots aquests paral·lelograms tindran tots els angles iguals. Podrien tenir més coses en comú? Què passaria amb el perímetre? És fàcil veure que tots tenen el mateix perímetre, que és igual a dues vegades la diagonal.

Si per comptes de fer el rebot a N i a Q deixem que la bola segueixi recte fins que topi amb les prolongacions de DC I AB respectivament impactarien en aquestes en els punts P' i Q' que són els simètrics de P i M respectivament i aleshores veiem que MP' i PQ' són iguals a la diagonal AC i  més NP, NP', QM i QQ' són tots segments iguals per tant el perímetre del paral·lelogram MNPQ és igual a dues vegades la diagonal AC i això és independent d'on es trobi el punt M sobre el costat AB sempre que MN sigui paral·lel a la diagonal AC. Per tant, tenim el següent teorema:

Donat un rectangle qualsevol i un punt qualsevol sobre un dels costats sempre que d'aquest punt fem seguir una trajectòria paral·lela a una diagonal i que segueixi les regles de la reflexió obtindrem un paral·lelogram de perímetre dues vegades la diagonal i angles 180⁰ - 2ß i 180⁰ - 2∂, sent ß i ∂ els angles que forma la diagonal amb els costats del rectangle.

Vist això vaig pensar que seria interessant veure què passava si donat un rectangle i triant un punt sobre un costat fèiem el mateix però sense que la trajectòria sigui paral·lela a la diagonal. Vaig fer algunes simulacions i vaig veure que una d'aquestes donava la següent trajectòria:

En aquest cas com es pot observar MN té un pendent lleugerament superior al de la diagonal AC, es pot observar que la trajectòria no és tancada sinó que té una forma com d'espiral superposada, sembla que els angles sí que són dos a dos iguals i dona la impressió que el no tancament ve donat perquè els posteriors rebots sobre el costat AB es desplacen cap a l'esquerra però que ho fan sempre igual. Seríem capaços de donar una resposta a tot això?

En aquest cas suposo que pel que fa als angles no cal dir massa res, anem a per què retrocedeix. Com ja hem dit el pendent de MN és un xic superior al d'AC, ho posem de manifest al traçar la paral·lela a MN pel vèrtex A, i obtenim el segment AE que és lleugerament inferior a la diagonal AC. Igual que hem fet en el cas anterior considerem les prolongacions de MN i PQ fins a trobar les prolongacions dels costats DC i AB i obtenim els punts P' i Q', ara el segment MP' és igual a la suma de MN i NP que en aquest cas no és igual a AC sinó a AE i per tant això produiex un retrocés EC. De manera similar tenim que PQ' és igual a la suma PQ i QM' i també a AE i tornem a tenir el mateix retrocés EC. En definitiva, tenim que cada quatre braços d'aquesta mena d'espiral mesura en total dues vegades AE i per tant sempre es va produint el retrocés esmentat, mentre la longitud d'AB ho faci possible.

Si ara considerem que el pendent de MN sigui inferior al de la diagonal ens trobarem en una situació similar a l'anterior però per comptes d'haver-hi un retrocés hi haurà un avançament. Si feu les mateixes consideracions que hem fet en el cas anterior en la següent figura no crec que tingueu dificultats a trobar les respostes pertinents.