El problema del marc per fora

Bon dia!

Divendres 29 de maig us vaig proposar el que en diem el problema del marc.

Avui us en proposo una altra versió:

Problema del marc per fora

Donat un rectangle, construir un marc extern, de forma que l'amplada del marc sigui la mateixa tan en vertical com en horitzontal i el marc tingui la mateixa àrea del rectangle original.

He de confessar que d'aquest problema en tinc una construcció que depèn de la solució algèbrica. No he sigut capaç de trobar-ne mai cap que sigui directa.

Solució al problema del marc per fora.

Bon dia!

Avui tenim una solució al problema del marc per fora d'en Lluís que és molt i molt bona. És aquesta:

La meva era molt més complicada basada en una equació de segon grau que s'obté al plantejar el problema algèbricament. Aleshores a partir dels elements que apareixen en l'equació, cal fer la construcció geomètrica. Però, com que era força complicada, no val la pena que hi entrem, després del que ha fet en Lluís de forma molt més senzilla i elegant.

Buf! M'he passat la nit pensant en la solució d'en Lluís. Al final he vist que em donava la clau per trobar una construcció purament geomètrica. Una cosa essencial de la seva forma de fer-la és que els costats del rectangle interior sumen la diagonal del nou rectangle. Ell això ho aconseguia en la resolució del problema del marc utilitzant àlgebra. He estat donant voltes a com demostrar això. Al final m'he adonat que ho tenia davant dels ulls però no ho veia.

Tornem a la meva demostració del problema del marc. Recordeu que utilitzava la quarta part superior dreta del rectangle i demostrava que el nou vèrtex era la intersecció de dues bisectrius. La de l'angle recte i la de la diagonal amb el costat vertical. Veieu la figura:

Recordeu que per justificar que el vèrtex G del rectangle interior estava sobre la bisectriu vam dir que el que havia de passar era que els triangles EKH i JMD havien de ser equivalents al triangle HJG. Això ens va portar a dir que el triangle EKH era igual al HIG i el triangle JMD igual al GIJ. Doncs bé, si aquests triangles són iguals. Aleshores EH=HG, KH=HI, GJ=JD i IJ=JM. En definitiva, la suma dels costats del rectangle interior  són iguals a la diagonal del rectangle original. Però ara ho hem vist de manera purament geomètrica.

Ara per fer la construcció geomètrica del problema del marc en fora n'hi ha prou amb tenir present dues coses: d'una banda, els vèrtexs del rectangle exterior han d'estar sobre les bisectrius dels angles rectes i, de l'altra, la longitud de la diagonal del rectangle exterior ha de ser igual a la suma dels costats del rectangle original.

Per tant, per construir-lo n'hi ha prou amb fer les bisectrius pertinents i, des del centre del rectangle original, traçar una circumferència de radi la meitat de la suma dels costats del rectantgle original. Les interseccions ens donaran els vèrtexs del rectangle exterior.

Aquí CG és la suma dels dos costats del rectangle interior, H és el punt mig de CG, per tant HG és el radi que desitjo i el transporto al centre I del rectangle original, faig la circumferència i, obtinc els vèrtexs del marc per fora.

Moltes gràcies Lluís per indicar-me com ho havia de fer.