Dues qüestions sobre nombres primers

Bon dia!

Primera qüestió

El 22 d'abril, us vaig proposar de demostrar que hi ha infinits primers i us animava a investigar que es podien aconseguir seqüències de nombres consecutius tan llargues com vulgueu sense cap nombre primer. Heu estat capaços de demostrar-ho?

Segona qüestió

Sabríeu demostrar que hi ha infinits nombres primers de la forma 4n-1?

Solucions a dues qüestions sobre nombres primers

Bon dia!

Com sempre he tingut solucions d'en Lluís, són aquestes:

La solució que dona a la primera qüestió és perfecta. Tot just fer notar, per exemple, que si volem obtenir 13 nombres consecutius sense cap primer, aquesta tècnica ens donaria 14!+2= 87178291202, 14!+3, ... , 14!+14, mentre que la primera d'aquestes seqüències és 114, 115, .... 125, 126, que evidentment és molt inferior. El que realment és important és que tot i que hi ha infinits nombres primers, podem aconseguir que n'hi hagi tant separats com vulguem.

De totes maneres, com a complement, existeix una conjectura, encara no provada, que existeixen infinites parelles de primers bessons, és a dir, dos primers que tot just estan separats per un nombre, com per exemple 11 i 13, 17 i 19,  29 i 31 o 101 i 103. Si és certa, això voldria dir, que tot i que puguem tenir primers tan separats com vulguem, també n'hi haurà de tan en tant de ben junts.

La resolució a la segona no és correcta, tot i que la idea que utilitza sí que ho és. La seva idea consisteix a considerar uns quants primers, fer el producte de tots ells per 4 i restar-n'hi 1:

Si tenim el 3, serà 4x3-1=7 que és primer.

Si tenim el 3 i 5 serà 4x3x5-1=59 que és primer.

Si tenim el 3, 5 i 7 serà 4x3x5x7-1=419 que és primer.

Si tenim el 3, 5, 7 i 11 serà 4x3x5x7x11-1=4619=31x149 i no és primer.

Si tenim el 3, 5, 7, 11 i 13 serà 4x3x5x7x11x 13-1=60059=19x29x109 i no és primer.

Ell suposa que sempre donarà un nombre primer però això com es pot veure no és cert.

Com es pot recuperar la seva idea?

Si ens fixem en els primers que obtenim en els casos que el nombre no és primer podem veure que en el primer cas hi ha el 31, mentre que en el segon hi ha el 19. Tots dos són primers de la forma 4n-1. Per tant, del que sí podem estar segurs és que si el nombre no és primer, no pot ser que tots els divisors primers siguin de la forma 4n+1, ja que el producte també seria de la mateixa forma, per tant com a mínim n'hi ha d'haver un que sigui de la forma 4n-1.

Per acabar, fer notar que demostrar que hi ha infinits nombres primers de la forma 4n+1, és més complicat, ja que si volem utilitzar la mateixa tècnica, podria donar-se el cas que el nombre obtingut no fos primer i tingués un nombre parell de primers tots de la forma 4n-1. Per exemple, 21=3x7, tots dos de la forma 4n-1.