Un problema de construcció geomètrica

Bon dia!

Avui us proposo un problema de construcció geomètrica que em van proposar en Lluís Bibiloni i en Jordi Deulofeu. El problema em va costar força de resoldre i per tant el considero difícil però això com ja sabem és una qüestió molt subjectiva. M'agradaria saber què n'opineu. El problema es pot resoldre algèbricament però el que proposo és trobar una construcció amb regle i compàs. Hem anomenat al problema, el problema del marc.

Problema del marc

Donat un rectangle, es tracta de construir a dins un marc d'igual amplada tan en la part horitzontal com en la vertical, de tal manera que el marc tingui la mateixa àrea que la part emmarcada. Veieu la figura:

Solucions al problema del marc

Bon dia!

Avui només en Lluís ha donat solució al problema del marc. És aquesta:

M'ha costat un xic de seguir ja que hi ha un error quan posa l'equació de segon grau, teòricament no la divideix per 4, però el terme independent sí. A part d'això tot el que fa està molt bé i arriba a poder fer la construcció. Però, fixeu-vos, que per fer la construcció ha necessitat resoldre una equació de segon grau a la manera com ho fem actualment i això no té res a veure amb com ho haguessin fet els grecs.

La meva solució és completament geomètrica. Primer de tot vaig modificar el problema. Vaig traçar els eixos del rectangle, això em dividia el rectangle en quatre rectangles i em vaig quedar amb el de dalt a la dreta.

Ara el problema consistia en donat un rectangle dividir-lo en dues parts, una un rectangle recolzat en el vèrtex inferior esquerra, i l'altra, una ela, de forma que les dues tinguin la mateixa àrea. Vaig pensar que per resoldre el problema en tenia prou amb determinar el vèrtex superior dret del rectangle petit. Com que l'amplada  de les dues parts de la ela era la mateixa, aquest vèrtex havia d'estar sobre la bisectriu de l'anlge superior dret del rectangle gros. Després de donar-hi moltes voltes vaig traçar la diagonal que uneix el vèrtex superior esquerre amb l'oposat. La figura ara quedava així.

Amb això ja vaig veure que anava pel bon camí perquè vaig veure que dels tres triangles rectangles que es formaven, dos de més petits a la ela i un de més gran dins del rectangle petit, els dos petits havien de ser equivalents al gros, per tal que les dues àrees fossin iguals. Això em va portar a intentar posar els dos triangles petits dins del gran. Per poder-ho fer vaig traçar la perpendicular a la diagonal que tenia des del vèrtex superior dret del rectangle petit. I sí, tot quadrava. Aquesta perpendicular em dividia el triangle de dins del rectangle petit en dos triangles iguals als de fora.

Si centrem la nostra atenció en els dos triangles més petits, perquè siguin iguals, ho han de ser les hipotenuses. Tracem la recta que uneix el vèrtex inferior dret del rectangle gran amb el punt que busquem.

Ara tenim un triangle de vèrtexs FAE que ha de ser isòsceles, les hipotenuses han de ser iguals, per tant, els angles FAE i AEF són iguals. I ara, cop final, resulta que els angles AEF i EAB són iguals també, perquè són angles altern-intenrs entre dues paral·leles BA i EF. En definitiva EA ha de ser la bisectriu de l'angle que forma la diagonal amb el costat AB. És a dir, per construir el punt E, solució del problema, n'hi ha prou amb traçar dues bisectrius: la del vèrtex B del rectangle original i la de la diagonal amb el costat AB.