Tres problemes de càcul d'alçades

Bon dia!

Avui proposo problemes per calcular alçades a partir de la mesura d'angles. Són problemes molt elementals que pretenen fer veure com amb eines relativament senzilles som capaços de fer mesures que no es poden fer de forma directa. El primer problema es pot resoldre sense necessitat d'utilitzar trigonometria. El segon és la generalització del primer i cal utilitzar trigonometria. Mentre que en el tercer la idea és un xic diferent i també s'ha d'utilitzar la trigonometria. Per no embolicar massa la troca he suposat que els angles s'han mesurat amb un goniòmetre arran de terra.

Primer problema

Troba l'alçada del lleó de la plaça del mercat de Girona sabent que a una certa distància de la base del lleó veiem l'extrem superior sota un angle de 30o i en acostar-nos 24 m aquest angle és 60o.

Segon problema

Calcula l'alçada d'un turó sabent que des de la plana veiem l'extrem superior sota un angle de 20⁰, mentre que si ens acostem 60 m, mantinguent-nos a la plana, ara el veiem sota un anlge de 25⁰.

Tercer problema

Des de dalt del Tibidabo veiem l'horitzó amb un angle de 4' 19" respecte del pla horitzontal. La definició de metre com a unitat de longitud que vaig aprendre quan era petit era: el metre és la deumilonéssima part d'un quadrant de meridià terrestre. Amb aquestes dades series capaç de calcular quina és l'alçada del Tibidabo respecte del mar?

Solucions a tres problemes de càlcul d'alçades

Bon dia!

Avui he tingut solucions d'en Lluís i d'en Pere. Les d'en Lluís són aquestes:

I  les d'en Pere aquestes:

Com podreu veure tots dos solucionen els dos primers problemes. En la solució del primer en Pere veu el triangle equilàter que es pot considerar i per això la seva solució és més senzilla. En Pere no dona solució al tercer problema i en Lluís l'acaba amb un interrogant. No acabo d'entendre el què fa.

Ho sento molt al fer ara al fer els càlculs per donar la solució acabo de veure que vaig cometre un error tipogràfic i per comptes de l'angle que vaig donar, 4' 19", ha de ser de 43' 19". Un desastre! Si ho feu amb l'angle que vaig donar el Tibidabo tot just mesura 5 m.

La meva solució al problema, amb l'angle correcte per trobar l'alçada del Tibidabo seria a partir del següent dibuix:

Tenim que el sinus del complementari de l'angle de 43' 19" és igual a R/(R+h), on R és el radi de la Terra i h l'altura del Tibidabo que volem trobar. Donat que 10.000 Km són un quadrant de meridià, 40.000 Km són tot un meridià i per tant R=40.000/2π=6366,198 Km. Això fa que, si el sin(89⁰ 16' 41")=0,99992, aleshores tenim que R=Rx0,99992+hx0,99992 i si fem els càlculs dona h=509 m, que és l'altura aproximada que té el Tibidabo.