Tres problemes sobre cubs

Bon dia!

Avui tres problemes que impliquen els cubs.

Primer

Demostrar que tot nombre que sigui el cub d'un nombre enter es pot posar com a diferència de dos nombres quadrats.

Segon

Trobar una forma tancada que doni la suma dels n primers cubs parells. És a dir:

2³+4³+6³+8³+10³+....+(2n)³=F(n)

Tercer

Trobar una forma tancada que doni la suma dels n primers cubs senars. És a dir:

1³+3³+5³+7³+9³+....+(2n-1)³=F(n)

Solucions als 3 problemes de cubs

Bon dia!

Avui he tingut dues solucions al primer problema, una d'en Pere Mañosa i l'altra d'en Lluís Serra.

Primer problema

En Pere troba una fórmula que no és exactament l'original i aleshores tinc la impressió  de que ho vol fer per inducció però en realitat el que fa és demostrar la identitat que ha trobat dues vegades. Aquí ho teniu:

En Lluís també fa els altres dos problemes. Aquí teniu les seves solucions:

Val a dir que tot el que fa és molt sintètic i no dona cap explicació. Interpreto que la seva solució al primer problema és la següent: ja que vam veure que la suma dels n primers cubs era [nx(n+1)/2]², aleshores el que fa és considerar la suma dels n primers cubs i li resta la del (n-1) primers cubs, que ens dona n³ i, per tant això és la diferència de dos quadrats, el de les dues sumes. Molt bé.

Segon problema

Utilitza el mateix que ha utilitzat en el primer problema, posa la suma dels n primers cubs parells, treu factor comú 2³ i obté que la resta és la suma dels n primers cubs. Per tant, ara l'única cosa que queda per fer és múltiplicar per 8 la suma i ja està. Molt bé.

Tercer problema

Aquí també té una idea molt bona. La suma dels n primers cubs senars serà la suma dels cubs fins a 2n menys la suma dels cubs parells fins 2n. Utilitza les dues expressions que té per aquestes sumes. Fa les operacions pertinents i arriba a l'expressió correcta n²(2n²-1). Molt bé.