Dos problemes de L'home que calculava de Malba Tahan

Bon dia!

Avui us proposo dos problemes del cèlebre llibre de Malba Tahan, L'home que calculava. El llibre consisteix amb un seguit de problemes barrejats amb històries fascinants.

Ahir un conegut em va enviar un vídeo, que deu córrer per la xarxa, amb un problema sobre una herència de camells. Havia utilitzat aquest problema en moltes de les meves classes de magisteri i m'ha semblat que el podia plantejar aquí. La meva presentació és de collita pròpia i faig que sigui un xic  més sorprenent, però la idea és la mateixa. Hi he afegit un altre problema de tipus combinatori que em sembla força instructiu.

Una herència de camells

Un ric emir va deixar en herència als seus tres fills 53 camells. Al més gran li va deixar la meitat dels camells, al mitjà una tercera part i al petit una novena part.

Els fills al tenir coneixement d'aquesta estrambòtica forma de repartir els camells i no volent haver de sacrificar cap animal, van consultar a un amic matemàtic.

L'amic, un cop assabentat de com havia d'anar el repartiment, va proposar als hereus que els deixava un camell per tal de poder fer el repartiment, amb la condició que en cas que quedés algun camell li donessin a ell.

Amb el camell que l'amic havia proporcionat en tenien 54. La meitat pel fill gran eren 27, la tercera part pel mitjà 18 i la novena part pel petit 6. En total 27+18+6=51, és a dir, que van sobrar 3 camells que van donar a l'amic i tothom hi va sortir guanyant.

Com expliques aquesta història?

Deu soldats

És possible disposar deu soldats en cinc files de forma que a cada fila hi hagi quatre soldats?

Solucions als dos problemes de L'home que calculava de Malba Tahan

Bon dia!

Avui he tingut solucions de la Pili Royo, en Lluís Serra i en Pere Mañosa.

Les solucions d'en Lluís són:

Les d'en Pere:

La solució de la Pili és del problema dels deu soldats:

És possible disposar deu soldats en cinc files de forma que a cada fila hi hagi quatre soldats?

He començat col·locant punts sobre una quadrícula... Llavors he vist que caldria tenir en compte que no diu enlloc que les distàncies hagin de ser iguals... Després de provar un parell de vegades utilitzant encara la quadrícula, he vist que aquesta més aviat em feia nosa... Que en realitat havia de buscar 5 línies (les ”files”) amb 4 punts d'intersecció (soldats) sobre cada línia. Si les línies es tallen dos a dos, en sortiran 5*4/2=10 (els ”soldats)


Pili

Una herència de camells

Com expliquen en Lluís i en Pere, el pare no reparteix tota l'herència, sinó tot just 17/18, per tant queda per repartir 1/18, que dels 54 camells representen 3 camells. que no es reparteixen. Per tant, l'amic recupera el seu camell i a més es queda els altres dos. Fixeu-vos que si fem els repartiment amb 53 camells, el gran hauria de tenir 26,5 camells, el mitjà 17,666... i el petit 5,888... Si fem la suma ens dona 50,0555... A l'afegir el camell resulta que tothom hi guanya.

Deu soldats

Les solucions d'en Lluís i en Pere utilitzen un pentàgon regular per visualitzar la distribució. Fixeu-vos que la de la Pili és més general i fa referència al problema de les rectes que ja hem tractat fa uns dies. Allà per obtenir el màxim de regions cada recta havia de tallar a les quatre restants en punts diferents. Per tant, a cada recta hi tenim 4 punts però com que cada punt està sobre dues rectes podem fer la distribució dels 10 soldats de la manera desitjada.