Bon dia!
Avui tractarem alguns problemes relacionats
amb les potències de dos.
Els
grans d'arròs d'un taulell d'escacs
Diu la tradició, que l'inventor del joc
d'escacs, va ensenyar a un emperador xinès a jugar-hi. L'emperador va quedar
tan meravellat pel joc, que va dir a l'inventor que demanés el que volgués, que
amb molt de gust el satisfaria. L'inventor va dir, voldria 1 gra d'arròs per la
primera casella del taulell, dos per la segona, 4 per la tercera, 16 per la
quarta i així, va anar duplicant el valor de la casella anterior fins arribar a
la casella 64. L'emperador va pensar que la petició era molt modesta i va donar
ordres als seus lacais per tal que fessin efectiu el desig de l'inventor.
Voldria fer conscient a tothom de la
monstruosa quantitat que això representa. Primer hauríeu de ser capaços de
calcular quants grans d'arròs serien necessaris per satisfer els dsitjos de
l'inventor. Després estaria bé saber quants grans d'arròs hi ha en un quilo i
quina és la producció mundial d'arròs en un any. Per acabar, caldria esbrinar
quantes collites anuals serien necessàries per satisfer el desig de l'inventor.
La
suma dels inversos de les potències de dos
Voldria que fòssiu capaços de trobar què
val la següent suma:
1+1/2+1/22+1/23+1/24+....
Ara,
un altre que és un xic més difícil
Què val la suma de la següent sèrie:
1-1/2/-1/22+1/23-/24-1/25+1/26-1/27-1/28+...
A partir
d'aquestes qüestions, podeu imaginar d'altres situacions i intentar esbrinar quina
és la resposta.
Solucions
a potències de dos
Bon dia!
Avui tot just he rebut solucions d'en Lluís
Serra. Són aquestes:
Els
grans d'arròs d'un taulell d'escacs
La solució que
dona en Lluís a la primera part del primer problema és molt hermètica. És clar
que com que a cada casella hi ha el doble de grans que a la casella anterior, a
cada casella hi ha una potència de 2, que com que a la primera hi ha un gra, és
a dir, 20, la potència és un menys que el número de la casella. Per
tant, hem de fer la següent suma:
1+21+22+23+....+262+263.
A partir dels
càlculs que fa en Lluís intuïm que el resultat d'aquesta suma ha de ser 264-1.
Però una cosa és intuir i una de molt diferent és estar-ne segur. Hi ha un truc
per poder fer aquesta suma. És el següent, anomenem S al resultat de la suma:
S=1+21+22+23+....+262+263
Ara si
multipliquem per 2 aquesta suma obtenim:
2S=21+22+23+24+....+263+264
Fixeu-vos que en
aquesta segona expressió hi ha els mateixos termes que a la primera, exceptuant
que a la primera el primer terme és un 1, mentre que a la segona l'últim és 264.
Què podríem fer per obtenir el valor que diu en Lluís? Fàcil, no? A la segona
expressió li restem la primera:
2S-S=21+22+23+24+....+263+264-(1+21+22+23+....+262+263)
Ara veiem que
totes les potències de dos desapareixen menys el 264 i ens queda un
1 per restar. És a dir, hem obtingut 264-1.
L'estimació que fa
en Lluís de 10.000 grans d'arròs en 1 Kg em sembla molt baixa. Si comptem
quants grans hi ha en 10 g, que em sembla una cosa que es pot abordar fàcilment
veurem que n'hi ha entre 400 i 500 segons el tipus d'arròs. Per tant, podem
suposar que en 1 Kg hi ha 50.000 grans d'arròs, tirant llarg.
La Viquipèdia diu
que la producció mundial d'arròs és de 500 milions de tones, això són 500x106
tones. És a dir, passat a quilos 500x106x103=5x1011.
Això són quilos, si ho multipliquem per 5x104, que són els grans
d'un quilo, tenim 25x1015=2,5x1016. La màquina de
calcular diu que 264=1,8x1019. En definitiva, 1,8x 1019/(2,5x1016)
=738, això són el nombre de collites anuals necessàries per satisfer la petició
de l'inventor dels escacs. Pas mal!
La suma dels inversos de les potències de dos
En Lluís sap la
fórmula per fer aquesta suma, l'aplica i ja està. Prefereixo intentar explicar
un xic d'on pot sortir. Si fem com hem fet abans i anomenem S a la suma que
volem conèixer:
S=1+1/2+1/22+1/23+1/24+....
i ara a partir del
segon terme traiem 1/2 com a factor comú obtindrem:
S=1+1/2(1+1/2+1/22+1/23+1/24+....)
el que ens ha quedat dins del parèntesi del
factor comú no és altra cosa que la suma que volem obtenir, això ens dona:
S=1+1/2S que podem posar com S-1/2S=1/2S=1 o sigui S=2.
tal com havia
obtingut en Lluís.
Ara,
un altre que és més difícil
En aquest cas en Lluís un desglosa amb tres
sèries i aplica la fórmula per cada una de les sèries. Ho faré un xic diferent.
Hem de trobar la suma de:
1-1/2/-1/22+1/23-1/24-1/25+1/26-1/27-1/28+...
Ara l'escriurem de
la següent forma:
1-(1/2/+1/22)+1/23-(1/24+1/25)+1/26-(1/27+1/28)+...
Que podem escriure
com:
(1-3/22)+(1/23-3/25)+(1/26-3/28)+...
En definitiva
1/22+1/25+1/28+...
Ara agafem 1/22
com a factor comú i ens quedarà:
1/22(1+1/23+1/26+...) (*)
Hem de fer la suma
dins del parèntesi. Si com hem fet abans l'anomenem S tenim:
S=1+1/23+1/26+...
si agafem 1/23 factor comú tenim
S=1+ 1/23(1+1/23+...)=1+1/23S
És a dir,
S-1/8S=7/8S=1 i per tant S=8/7. Si això ho substituïm a (*):
1/4(8/7)=2/7
Que és el resultat
que ha obtingut en Lluís aplicant les fórmules.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada
Gràcies pel teu comentari