Trajectes amb cotxe i a peu

Bon dia de sant Ponç!

Avui dos problemes que Pierre Berloquin proposa en el seu llibre 100 jeux numériques. Són d'aquells en què unes persones fan un trajecte combinat a peu i en cotxe, que la majoria de gent odia, però que si un se'ls agafa amb sentit de l'humor tenen la seva gràcia.

Un retorn de la feina

Cada dia quan la Maria torna a casa de la feina agafa primer un tren i quan aquest arriba a l'estació el seu marit la recull amb cotxe i la porta a casa.

Avui la Maria ha pogut sortir més d'hora de la feina i ha agafat el tren abans. A l'arribar a l'estació s'ha posat a caminar, i quan s'ha creuat amb el seu marit no s'han vist i cada un ha continuat la seva via. Si s'haguessin vist la Maria hauria arribat a casa 20 minuts abans del que és normal. El marit ha arribat a l'estació, ha vist que la Maria no hi era i ha girat cua. Després de 25 minuts del primer creuament, el marit ha vist la Maria, l'ha recollit i han arribat a casa a la mateixa hora que un dia normal.

Quanta estona abans ha agafat la Maria el tren avui?

Tres amigues i una moto

La Júlia, la Nina i la Laura han de fer un recorregut de 8 Km. La Júlia disposa d'una moto per a dues persones i decideixen fer el trajecte combinant anar a peu i amb moto. Primer la Júlia i la Nina van en moto i la Laura a peu. Al cap d'una estona la Júlia deixa a la NIna i va a recollir la Laura, mentre la Nina continua caminant. Un cop la Laura ha pujat a la moto van cap  al seu destí i arriben a l'hora amb la Nina. Si la moto va a 30 Km/h i caminant tant la Nina com la Laura van a 6 Km/h, sabries dir quan han trigat en fer tot el trajecte?

Per resoldre aquests problemes se suposa que el temps en pujar o baixar de la moto o del cotxe i en donar mitja volta és irrellevant.

Solucions a trajectes amb cotxe i a peu.

Bon dia!

Les úniques solucions que he rebut són d'en Lluís Serra que ho fa plantejant uns sistemes d'equacions i trobant les solucions correctes. Aquí les teniu:

Les solucions que jo havia trobat són un xic diferents:

Un retorn de la feina

Ja que  la Maria hauria arribat 20 min abans a casa si el seu marit l'hagués agafat al primer creuament, vol dir que l'ha creuat 10 min abans d'arribar amb cotxe a l'estació. Com que entre el primer creuament i quan l'agafa amb cotxe han passat 25 min, això vol dir que el marit estava de tornada al punt del primer creuament al cap de 20 min. Per tant, 25 min - 20 min = 5 min és el temps que ha invertit en anar d'aquest punt a on ha recollit la Maria. Si la Maria ha fet aquest recorregut amb 25 min, vol dir que la Maria va 5 vegades més lenta que el marit. En conseqüència la Maria ha trigat 50 min de l'estació al primer punt de trobada i 10 min abans de l'arribada del seu tren, que és el que ha trigat el marit en cotxe per arribar just a l'hora. En definitiva la Maria ha agafat el tren 10 min + 50 min = 60 min abans de l'habitual.

Tres amigues i una moto

Primer de tot com que la Nina i la Laura van a la mateixa velocitat i arriben al final del trajecte al mateix instant els punts on la Júlia deixa a la Nina i recull a la Laura són simètrics. Respecte del punt mig del recorregut, el Km 4. Com que la velocitat de la Júlia és 30 Km/h i les dues noies van a 6 Km/h, resulta que la Júlia va 5 vegades més ràpid que elles. Per tant, el punt on la Júlia recull a la Laura ha de ser a 2 Km del punt de sortida, ja que la Júlia ha de fer 5 vegades més trajecte que la Laura, és a dir, 10 Km. Fixeu-vos que el recorregut queda dividit en tres parts, el recorregut a peu de la Laura, la part central i el recorregut a peu de la Nina. Com que el recorregut a peu de la Laura, ha de ser una cinquena part del que fa la Júlia, això vol dir que el recorregut central ha de ser dues vegades els fets a peu. La Júlia haurà fet el recorregut a peu de la Laura i dues vegades el central, o sigui, quatre vegades el recorregut a peu, en total cinc vegades el recorregut a peu. Ara com que ja sabem que la Laura fa 2 Km a 6 Km/h, és a dir, en 20 min i després 6 Km a 30 Km/h, és a dir, en 12 min, tenim que el temps total a fer el recorregut és de 32 min.