Suma fixa i producte màxim

Bon dia!

El problema d'avui també l'he trobat al llibre de Paul Halmos, Problems for mathematicians, young and old.

Donat un nombre el podem posar com a suma d'enters de diferents maneres. Per exemple 10=5+5=6+4=4+2+2+2=7+2+1=....

Qüestió:

Donat un nombre N, descompondre'l en una suma d'enters de manera que el producte de la descomposició sigui màxim.

Una qüestió posterior:

Xerrant amb en Lluís Bibiloni fa uns dies sobre aquesta qüestió, ens vam plantejar si en lloc d'exigir que la suma sigui amb enters, la relaxem per tal que sigui amb nombres racionals o d'altres tipus, què passaria perquè el producte sigui màxim?

Solucions a suma fixa i producte màxim

Bon dia!

He rebut solucions d'en Lluís Serra i d'en Pere Mañosa. Les d'en Pere són molt críptiques i estan incloses en les d'en Lluís per tant posaré tot just les d'aquest.

Bé, pel que fa a la part entera sembla que en Lluís veu clar que la descomposició ha de ser amb 3 i 2, però no acaba d'argumentar perquè.

A veure, per 1, tenim que l'única descomposició possible és 1. Per 2, podríem posar 1+1 o 2, i queda clar quina és la bona. Per 3, tindríem 1+1+1, 2+1 i 3 i també està clar quin és la bona. Per 4 tindríem 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3 i 2+2, aquesta última és la bona.

Podríem continuar així però correm el perill d'avorrir al personal. És evident que posar uns no té cap sentit. Què passa si posem un sumand r≥4, aleshores si substituïm r per r-2 i 2, en el producte tindrem (r-2)x2=2r-4, per tant aquest producte es manté igual o és més gran que r. És a dir, posar en la descomposició nombres més grans de 4 disminuiei el producte, per tant, perquè el producte sigui màxim hi ha d'haver únicament 2 i 3. Si el nombre és múltiple de 3, per exemple 15, aleshores la descomposició 15=3+3+3+3+3 dona 3⁵=243. Si el nombre no és múltiple de 3, per exemple 16, el residu és 1, aleshores el producte màxim s'obté amb la descomposició 16=3+3+3+3+2+2, 2²-3⁴=324. I si el residu és 2, per exemple 17, el producte màxim s'obté amb 17=3+3+3+3+3+2, 2.3⁵=486. En definitiva, si n és múltiple de 3, tants 3 com el quocient de n entre 3; si n dona de residu 1, dos 2 i tants 3 com la part entera menys 1; i si n dona de residu 2, un 2 i tants 3 com la part entera.

Què passa quan admetem que els sumands no siguin enters? Xerrant amb en Bibi em vaig adonar que pel cas 10, residu 1, tindríem 10=3+3+2+2, 2².3²=36, mentre que si consideràvem 10=2,5+2,5+2,5+2,5, teníem (2,5)⁴=39,0625 i per tant obteníem un producte més gran. Vam estar donant voltes i voltes...

És relativament fàcil argumentar que, fixada una quantitat, el producte més gran de les parts d'aquesta quantitat és produeix quan totes les parts són iguals. Per exemple, de tots els rectangles de perímetre donat, el quadrat és el de major àrea. Això ens va portar a considerar la següent funció, fixat un n:

f(x)=x^n/x.

És a dir, descompondre n en n/x sumands iguals a x. Soc conscient que això  pot considerar-se un xic esotèric però... Bé, el cas és que si això ho treballem matemàticament, derivant i trobant el màxim el resultat dona al famós número e.