El problema del futbolista.

Bon dia!

Avui un problema de geometria que pot ser un xic més difícil.

Tenim un futbolista que avança seguint una recta cap al camp contrari i es demana des de quin punt de la seva trajectòria ha de xutar per tenir el màxim de possibilitats de fer gol?

La traducció matemàtica del problema seria: donats un segment (la porteria) i una recta (la trajectòria), des de quin punt de la recta es veu el segment amb un angle màxim?

Que tingueu una bon revetlla!

Solucions al problema del futbolista

Bon dia!

Tot just en Lluís ha enviat solucions. Són aquestes:

Com podeu comprovar tot el que fa el Lluís està bé, però per mi que no ho explica prou bé. Com troba la solució geomètrica al problema del futbolista no la coneixia. M'ha costat molt arribar a veure per què la construcció que fa per trobar la circumferència tangent a la recta que representa la trajectòria és correcta.

En la figura tenim la representació del dibuix d'en Lluís. Fixeu-vos que la circumferència de centre O' té potència PA*PB respecte del punt P. La construcció del segment PN, no és altra cosa que la tangent des de P a la circumferència de centre O'. Per tant, PN²=PA*PB donat que la potència d'un punt a una circumferència és constant (podeu intentar demostrar-ho). Qualsevol altra circumferència que passi per A i B també tindrà la mateixa potència, és a dir, que el segment PN és mantindrà constant, i per tant, el punt que hem de buscar sobre la trajectòria ha d'estar a la distància PN de P. Per això troba el punt T fent un arc de radi PN.

Ara voldria exposar la meva solució al problema.

Sabem, per la construcció d'arc capaç, que fixat un angle, tots els punts del pla que veuen sota aquest angle un determinat segment es troben sobre un arc de circumferència. Si aquest arc talla a la recta aleshores hi haurà dos punts de la recta que veuran sota el mateix angle el segment i hi haurà punts entre aquests dos en els que l'angle sota el que es veu el segment serà més gran... L'angle màxim l'aconseguirem quan l'arc sigui tangent. Per tant el problema que volem resoldre es pot reformular de la següent manera: Donats dos punts i una recta trobar una circumferència que passi pels dos punts i sigui tangent a la recta.

Tenim que el centre de la circumferència que busquem ha d'estar sobre la mediatriu del segment que determina la porteria, però  el radi no ens queda determinat. Què podem fer? Podem provar de construir una circumferència amb centre a la mediatriu i tangent a la recta però que no necessàriament passi pels extrems del segment (com diu Pólya deixem de banda una de les condicions, això ja ho hem utilitzat algunes vegades amb èxit, recordeu el problema d'inscriure un quadrat en un triangle que vaig proposar el 27 d'abril). Aquesta no és la que desitgem però segurament té coses en comú amb la que desitgem construir. Hi ha un altre punt que podria ser important, el punt on es tallen la recta donada i la mediatriu. La circumferència solució ha de ser homotètica en aquesta amb centre en aquest punt. Si tracem una recta que passi per aquest punt i un dels extrems del segment ens talla la circumferència que acabem de construir en dos punts. Construïm un radi d'aquesta amb un dels punts de tall de la recta. Aquest radi ha de ser homotètic al de la circumferència que volem construir que passa per l'extrem del segment abans triat, per tant, ja podem trobar el centre de la circumferència que desitgem, n'hi ha prou amb fer una paral·lela al radi homotètic. Ara ja podem construir la circumferència i determinar el punt des del que s'ha de fer el xut.

Matemàticament hi ha dues solucions ja que la recta que uneix el centre d'homotècia amb un dels extrems del segment talla a la circumferència en dos punts i per tant podem traçar un altre radi que al construir l'homotètic ens donarà una altra circumferència (en el dibuix veieu les línies a traços).

En Lluís no queda satisfet amb la construcció geomètrica i dona una solució algèbrica a partir de consideracions trigonomètriques. Fa tot un seguit de càlculs i arriba a la conclusió que el que ell anomena x ha de valer x=√(a²+ad), on a és la distància de P al pal esquerre que anomena A, per tant, a=PA i d és el segment que representa la porteria, és a dir, la distància entre els dos pals d=AB.

Ara m'agradaria fer veure com a partir de la solució trobada es pot fer una construcció geomètrica. Primer, a² no és altra cosa que l'àrea d'un quadrat de costat a. Segon, ad no és altra cosa que l'àrea d'un rectangle de costats a i d. Tercer, amb el teorema de l'altura podem construir un quadrat equivalent al rectangle ad. Quart, amb el teorema de Pitàgores podem fer la suma dels dos quadrats. I cinquè, el costat del quadrat que és la suma obtenim l'arrel quadrada, és a dir, la solució.

Fixeu-vos que al comprovar si és la solució obtenim la circumferència que passa pels dos pals i és tangent a la trajectòria.