Bon dia del treball!
Avui tenim una demostració, molt coneguda,
del teorema de Pitàgores i dues qüestions sobre lúnules com aplicacions del
teorema.
Teorema
de Pitàgores
Sempre m'ha agradat molt la següent
demostració del teorema de Pitàgores que s'atribueix a la cultura hindú.
Tenim un triangle rectangle al qual s'han
construït quadrats sobre els catets i la hipotenusa, tal com es mostra a la
següent figura:
A continuació tenim la següent figura que
consta de dos quadrats de costats b+c i que al seu interior s'han dividit de
forma diferent, tal com es veu a la figura:
El de l'esquerra té dos quadrats iguals als
dels catets i dos rectangles, mentre que el de la dreta té un quadrat i quatre
triangles iguals a l'original.
Amb tot això sabries justificar el teorema
de Pitàgores: els quadrats sobre els catets són equivalents del quadrat sobre
la hipotenusa? És a dir, que les àrees dels quadrats sobre els catets sumen el
mateix que l'àrea del quadrat sobre la hipotenusa.
Lúnula
d'Hipòcrates
Una lúnula consisteix en la superfície
compresa entre dos arcs de circumferència. Hipòcrates va considerar la següent
lúnula:
Es tracta de la formada per l'arc superior
que és una semicircumferència de diàmetre AB i la inferior que té per centre el
punt C, que és el vèrtex del triangle rectangle isòsceles que té per hipotenusa
AB, i per radi CA, el catet del triangle rectangle isòsceles.
S'ha de justificar que aquesta lúnula és
equivalent a l'àrea del quadrat que té per costat la meitat del segment AB, és
a dir OB.
Lúnules
en un triangle rectangle
En un triangle rectangle, podem considerar
la semicircumferència de diàmetre la hipotenusa que passa pel vèrtex de l'angle
recte i les semicircumferències sobre els catets. Determinen dues lúnules.
S'ha de demostrar que aquestes són
equivalents al triangle.
Solucions
al teorema de Pitàgores i lúnules.
Bon dia!
Teorema
de Pitàgores
Si a la figura del teorema que havíem
dibuixat tracem les diagonals dels rectangles del quadrat de l'esquerra, tal
com es pot veure a la figura de l'esquerra obtenim ara que el quadrat estigui dividit
amb els dos quadrats sobre els catets i quatre triangle iguals a l'original. Mentre
que la figura de la dreta està dividida en quatre triangles iguals a l'original
i un quadrat de costat la hipotenusa. Per tant, com que els dos quadrats
grossos són iguals, si hi traiem els quatre triangles a tots dos, el que queda
ha de ser igual i precisament ens queden, a l'esquerra els quadrats sobre els
catets i a la dreta el quadrat sobre la hipotenusa. Això és el que volíem
demostrar.
Lúnula
d'Hipòcrates
El teorema de Pitàgores es pot generalitzar
fàcilment. Veient que si en lloc de posar un quadrat sobre cada un dels costats
del triangle rectangle n'hi posem dos tot seguirà sent igual. Si n'hi posem
tres també, si n'hi posem mig igual. En general, si posem figures semblants
sobra cada un dels costats el teorema continua sent cert, la suma de les
figures semblants sobre els catets és igual a la figura semblant sobre la
hipotenusa.
Si tenim clar això, ara a la figura que
teníem de la lúnula d'Hipòcrates li afegim les cordes AD i BD, on D és el
vèrtex superior esquerra del quadrat. Observem que el quadrat és igual a la
suma dels triangles AOD i ODB i que aquests dos formen el triangle rectangle
ABD. Al traçar les cordes en han aparegut dos segments circulars sobre els
catets i també en tenim un de semblant sobre la hipotenusa. Per tant, pel
teorema de Pitàgores generalitzat tenim que els segments circulars sobre els
catets sumen el segment circular sobre la hipotenusa. És a dir, podem dir que la
lúnula omple completament el triangle ABD i aquest, com ja hem dit, és igual al
quadrat de costat OB, que és el que volíem veure.
Lúnules
en un triangle rectangle
Aquest també s'obté a partir del teorema
generalitzat de Pitàgores. Si tenim present la figura veiem que les lúnules són
la diferència entre els semicercles sobre els catets i uns segments circulars
sobre el mateixos. Per altra banda, el triangle és el semicercle sobre la
hipotenusa menys els mateixos segments circulars. Pel teorema generalitzat els
semicercles sobre els catets són equivalents al semicercle sobre la hipotenusa.
En conseqüència, les lúnules són equivalents al triangle rectangle.
