Bon dia!
Avui, un problema que em va proposar el meu
amic i company Lluís Bibiloni just abans del confinament i del que he trobat
una solució que a ell li ha agradat molt.
Quins nombres es poden posar com a
diferència de dos quadrats?
Donat un nombre n, per exemple 480, de
quantes maneres es pot posar com a diferència de dos quadrats?
Sabries dir quina és la proporció de
nombres que no es poden posar com a diferència de dos quadrats?
Solució al problema diferències de quadrats
El problema consistia a trobar quins
nombres es podien posar com a diferència de quadrats, donat un nombre de
quantes maneres es podia posar com a diferència de quadrats i finalment quina
era la proporció de nombres que no era possible posar com a diferència de
quadrats.
He obtingut dues respostes. Una de la
companya Pili Royo que és un xic enrevessada i l'altra d'en Lluís Serra membre
del club de matemàtiques de la biblioteca de Palafrugell.
Aquesta és la solució que proposa la Pili:
Un quadrat es pot expressar com la suma
dels primers n nombres senars. Llavors suposem Q1 =n2 = 1+3+5+.... an-r + an-r+1...+ an
, amb an = (2n-1)
I Q2=
(n-r)2
=1+3+...+an-r , amb an-r = (2n-2r-1)
Si efectuem la resta, obtenim: Q1 – Q2 = an-r+1 + ... + an
Per tant, podem dir que la diferència
de dos quadrats és la suma dels r nombres senars consecutius obtinguts.
Per altra part, la seva expressió serà Q1 – Q2 =
n2
- (n-r)2 = 2nr - r2
on n és el nombre de termes amb què obtenim el
primer quadrat (suposem el major) i r és la
diferència en el nombre de termes entre el quadrat major i el menor
Donat un nombre n, per exemple 480, de quantes maneres
es pot posar com a diferència de dos quadrats?
Aplicant la fórmula que hem obtingut: Q1 – Q2 =
n2
- (n-r)2 = 2nr – r2 Obtenim 480 = 2nr – r2
Llavors n = (480 + r2)/2r El denominador és parell, pel que r també ha de ser parell (per
tal que el numerador sigui parell). Per altra part, podem descompondre així
l’expressió anterior:
n = (480 + r2)/2r
= (480/2r) + ( r2/2r) = (240/r) +( r/2)
Per la qual cosa, r ha de
ser parell i també divisor de 240: 2-4-6-8-10-12-16-20-24-30-40-48-60-120-240 (15 possibles diferències de quadrats)
Per
exemple, per r=2, tindrem n=121. Quedarà n2 - (n-r)2 = 14641 – 14161 = 48
...I ja ho deixo aquí :-)
Pili, fixa't que et deixes el divisor 80 de
240, per tant, tindries que de solucions n'hi hauria 16. Per altra banda, has
de tenir en compte que per r=240 obtenim 121 que és la mateixa que per r=2.
Divisors simètrics donen la mateixa solució, per tant, el nombre de solucions
és 8.
En Lluís fa un treball excel·lent que és
força proper a la meva solució:
Quan en Lluís Bibiloni em va proposar el
problema, el primer que vaig pensar va ser que qualsevol nombre senar era
possible de posar-lo com a diferència de quadrats donat que
(n+1)2-n2=2n+1.
Això em va portar a considerar
(a+b)2-(a-b)2=4ab
que em donava la
solució per nombres parells fent veure que només els parells múltiples de 4 es
podien posar com a diferència de quadrats. D'aquí vaig passar:
A partir d'aquí ja
vaig veure com ho havia de pensar. Donat un nombre el podia posar com a
producte de dos dels seus divisors. Amb aquesta identitat veia que si el nombre
era senar, podia posar aquest nombre com diferència de quadrats, la meitat del
nombre de divisors, suposant que el nombre no fos un quadrat. Si era quadrat,
com que el nombre de divisors és senars i admetent la forma n2-02
com a bona, havia de considerar la meitat del divisors per excés. En el cas que
el nombre fos parell aleshores les expressions entre parèntesi havien de ser
enteres, i; per tant, a i b havien de ser de la mateixa paritat. En
conseqüència, si el nombre era parell, a les parelles de divisors havia de
suprimir aquelles en les quals hi havia un divisor senar. És a dir, un nombre
parell el podem posar com a diferència de quadrats com la meitat del nombre de
divisors menys el nombre de divisors senars. Si es tracta d'un quadrat
aleshores hem de considerar el resultat per excés.
